Задача. Сколько различных перестановок букв можно сделать в слове колокол?

Решение: В слове колокол семь букв, буква к встречается два раза, буква о – три раза, буква л – два раза. В соответствии с формулой для числа перестановок с повторяющимися элементами, получим:

n=7, n1=2, n2=3, n3=2,

Ответ: 210.

Размещения

Опр 5. Размещениями называют множества, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком.

Опр 6. Символом обозначается число всевозможных размещений, которые можно составить из n элементов по m. Число размещений, составленных из n элементов по m, находится по формуле

(1.1.3)

Составим из элементов множества {a, b, c, d} всевозможные пары, чтобы в каждой паре элементы не повторялись.

В первой строке запишем все пары с первым элементом a , во второй – все пары на первом месте элемент b и т. д. Получим

(a, b), (a, c), (a, d),

(b, a), (b, c), (b, d),

(c, a), (c, b), (c, d),

(d, a), (d, b), (d, c).

Каждую пару в этой таблице, составленную из элементов множества {a, b, c, d}, в комбинаторике называют размещением из 4 элементов по 2. Число всех таких размещений обозначают: (читают а из 4 по 2). Можно догадаться =4*3=12

Т. о., размещения – это пары, тройки, четверки и т. д. элементов множества. Из определения следует, что два размещения являются различными, если они отличаются друг от друга элементами или порядком элементов.

Задача. Из 12 учеников нужно сформировать команду из 4 человек для участия в олимпиаде по математике, физике, истории и географии. Каждый может принять участие только в одной олимпиаде. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: Каждая группа учащихся отличается от другой либо участниками, либо порядком, который определяет, по какому предмету будет соревноваться ученик, поэтому n=12, m=4

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Ответ: 11880

Задача. Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры различны и первая цифра отлична от 0?

Решение: Количество всех семизначных , из них нужно исключить те номера, которые начинаются на 0. таких номеров

Ответ: 544320.

Опр 7. Число размещений из n элементов по m с повторениями находится по формуле:

(1.1.4)

Задача. Сколько пятизначных номеров можно составить из девяти цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?

Решение: Такие номера являются множествами из пяти элементов, а каждый элемент берется из множества 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. По формуле (1.1.4) получаем

Ответ: 59049.

Сочетания

Опр 8. Сочетаниями из n различных элементов по m называются множества, содержащие m элементов из числа n заданных, и которые отличаются хотя бы одним элементом.

Опр 9. Число сочетаний из n элементов по m обозначается и находится по формуле

(1.1.5)

Рассмотрим множество {a, b, c, d} и составим все подмножества этого множества, содержащие два элемента. Получим

{a, b}, {a, c}, {a, d},

{b, c}, {b, d},

{c, d}.

В отличие от размещений, сочетания различаются только элементами. Так {a, b} и {b, a}- одно и то же сочетание.

Задача. Сколькими способами можно выбрать 3 дежурных из 20человек?

Решение: Каждая группа должна отличаться хотя бы одним человеком, поэтому m=3, n=20

Ответ: 1140.

Опр 10. Число сочетаний с повторениями из n элементов по m находится по формуле:

(1.1.6)

Задача. Сколько наборов из 7 пирожных можно составить, если в продаже имеются 4 сорта пирожных?

Решение: В данном случае n=7, m=4, по формуле (1.1.6) получим

Ответ: 210.

1.2. Правило суммы и произведения.

Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из множества объектов n способами, а другой объект В может быть выбран m способами, то выбрать либо А, либо В можно n+m способами.

Правило произведения. Если объект А можно выбрать из множества объектов n способами, и после каждого такого выбора объект В можно быть выбрать m способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана n*m способами.

Задача. Из вазы с цветами, в которой 10 красных и 5 белых гвоздик, выбирают 2 красные и 1белую. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: Две красные гвоздики можно выбрать способами, одну белую гвоздику можно выбрать способами. По правилу произведения получим:

Ответ: 225.

Задача. Из 10 разных цветков нужно составить букет, содержащий или 3, или 5, или 7, или 9 цветков. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: Букет из 3 цветков можно составить способами, Букет из 5 цветков можно составить способами, Букет из 7 цветков можно составить способами, Букет из 9 цветков можно составить способами. А всего способов, используя правило умножения:

Ответ: 502.

Задачи для самостоятельного решения.

Решите уравнение:

а)  x!=5040;

б)  x!+(x-1)!=5760;

в)  ;

г)  ;

д)  ;

е)  ;

ж)  ;

з)  .

( а) х=7; б) х=7; в) n=3; г) n=6; д) n=6; е) n=7; ж) х=10; з) х=11.)

1.  В автомобиле 5 мест. Сколькими способами могут разместиться люди, если только двое имеют права?

2.  На станции имеется 8 запасных путей. Сколькими способами можно расставить 4 поезда?

3.  Семь огурцов и три помидора надо положить в два пакета так, чтобы в каждом пакете был хотя бы 1 помидор, и овощей было поровну. Сколькими способами это можно сделать?

4.  Имеется 10 различных книг, среди которых есть трехтомник одного автора. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке, если книги трехтомника должны находиться вместе, но в любом порядке?

5.  Сколькими различными способами можно выбрать три лица на три различные должности из десяти кандидатов?

6.  Сколькими различными способами могут разместиться на скамейке 5 человек?

7.  Сколькими способами можно выбрать три лица на три одинаковые должности из десяти кандидатов?

8.  Сколько различных шестизначных чисел можно записать с помощью цифр: 1;1;2;2;2?

9.  Сколько различных перестановок букв можно сделать в словах: замок, ротор, топор?

10.  Сколько существует пятизначных номеров, не содержащих цифру 8? Не содержащих цифр 0 и 8? Составленных из цифр 2, 3, 5, 7?

11.  Сколькими способами можно выбрать из группы, в которой 40 человек, старосту, его заместителя и ответственного за художественную самодеятельность?

12.  В цехе работает 8 токарей. Сколькими способами можно поручить трем из них изготовление трех различных видов деталей (по одному виду на каждого)?

13.  Сколькими способами можно обить 6 стульев тканью, если имеются ткани шести различных цветов и все стулья должны быть разного цвета?

14.  На собрании должны выступить пять человек: А, Б, В, Г, Д. Сколькими способами можно расположить их в списке ораторов, если Б не должен выступать до того, как выступил А? Если Б должен выступать сразу после А?

15.  У одного человека есть 11 книг по математике, а у другого – 15 книг. Сколькими способами они могут выбрать по три книги для обмена?

16.  Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове «математика»?

17.  Сколькими способами можно разложить 28 различных предметов по четырем различным ящикам так, чтобы в каждом ящике оказалось по семь предметов?

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10