Методическая разработка (стр. 7 )

8  Приведите примеры произведения трех событий.

9  Что называют разностью двух событий?

10  Приведите примеры разности двух событий.

3.2. Теорема умножения вероятностей.

Вероятность произведения независимых событий. Теорема сложения вероятностей.

Теорема сложения вероятностей двух событий.

Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

(3.2.1)

Теорема сложения вероятностей двух несовместных событий _

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

(3.2.2)

Замечание 1. Формула (2) получается из формулы (1), когда А и В - несовместные события; в этом случае АВ - невозможное событие и Р(АВ) = 0.

Теорема сложения вероятностей п несовместных событий

Вероятность суммы n несовместных событий А1, А2,...,Аn равна, сумме вероятностей этих событий:

(3.2.3)

Сумма вероятностей событий А1, А2,...,Аn, образующих полную группу, равна единице:

(3.2.4)

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

(3.2.5)

Если обозначить:

(3.2.6)

то формула (5) примет вид

(3.2.7)

Опр 1. Вероятность события В при условии, что произошло событие А, называется условной вероятностью события В и обозначается так:

Теорема умножения вероятностей

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, первое событие произошло:

(3.2.8)

Событие В не зависит от события А, если

, (3.2.9)

т. е. вероятность события В не зависит от того, произошло ли событие А.

В этом случае и событие А не зависит от события В, т. е. свойство независимости событий является взаимным.

Отметим, что если А и В не зависимы, то независимы .

Теорема умножения вероятностей двух независимых событий

Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей:

(3.2.10)

Теорема умножения вероятностей п событий

Вероятность произведения n событий равна произведению одного из них на условные вероятности всех остальных, вычисленные в предположении, что все предыдущие события наступили:

(3.2.11)

В частности, для трех событий А, В, С формула (11) принимает вид:

(3.2.12)

Опр 2. События А1, А2,...,Аn называются независимыми в совокупности или независимыми, если они попарно-независимы, а также независимы каждое из них и произведение k остальных (k = 2, 3,..., n-1).

Замечание 2. Из попарной независимости событий не следует их независимость в совокупности.

Замечание 3. Если события А1, А2,...,Аn независимы, то противоположные им события также независимы.

Теорема умножения вероятностей п независимых событий

Если события А1, А2,...,Аn независимы, то вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий:

(3.2.13)

Замечание 4. Равенство (13) выражает необходимое и достаточное условие независимости событий А1, А2,...,Аn.

Для трех независимых событий А, В, С формула (13) принимает вид

(3.2.14)

Вычисление вероятности суммы событий можно свести к вычислению вероятности произведения противоположных событий по формуле

(3.2.15)

В частности, если события А1, А2,...,Аn, независимы, то

Если независимые события А1, А2,...,Аn имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий выражается формулой:

В обратной задаче вероятность Р (А) известна и нужно определить, при каком числе n независимых событий Ai достигается заданное значение. Точнее говоря, задается некоторое число Q такое, что

(3.2.18)

Из этого неравенства определяется значение n.

Задача. Подбрасывается игральный кубик. Чему равна вероятность того, что выпадет четное число очков?

Решение. Введем обозначения: А - выпало четное число очков; Bk - k очков (k = 1, 2, 3, 4, 5, 6). Событие А означает, что наступило хотя бы одно из событий: В2, В4, В6, т. е. А=В2+В4+В6. Поскольку события В2, В4, В6 несовместны, то можно воспользоваться формулой (3) при n = 3, учитывая, что P(Bk)=1/6 (k = 1, 2, 3, 4, 5, 6):

Ответ: 1/2

Замечание. Тот же результат получается и непосредственно по формуле:

Задача. В урне 40 шариков: 15 голубых, 5 зеленых и 20 белых. Какова вероятность того, что из урны будет извлечен цветной шарик?

Решение. Извлечение цветного шарика означает появление либо голубого, либо зеленого шарика. Вероятность извлечения голубого шарика (событие А): Р (А) = 15/40 = 3/8 . Вероятность извлечения зеленого шарика (событие В): Р (В) = 5/40 = 1/8 . Так как события А и В несовместимы, то по формуле (2) получаем:

Ответ: 1/2

Замечание. Тот же результат получается и непосредственно по формуле: , где С - "появление цветного шара"; этому событию благоприятствует20 элементарных исходов.

Задачи для самостоятельного решения.

1.  Все грани игрального кубика заклеены непрозрачной бумагой: грани 1, 2, 3 - голубой, грани 4, 5, 6 - красной. При подбрасывании кубика выпала красная грань. Определить вероятность того, что на этой грани стоит четное число.

2.  Слово лотос, составленное из букв-кубиков, рассыпано на отдельные буквы, которые затем перемешаны и сложены в коробке. Из коробки наугад извлекаются одна за другой три буквы. Найти вероятность того, что при этом появится слово сто.

3.  В ящике находится 10 деталей, из которых 4 первого типа и 6 второго. Для сборки агрегата нужно сначала взять деталь первого типа, а затем - второго. Какова вероятность того, что при выборке наугад детали будут взяты в нужной последовательности.

4.  Вероятность того, что событие появится хотя бы один раз в трех независимых испытаниях, равна 0,875. Найти вероятность появление события в одном испытании.

5.  Студент знает ответы на 20 вопросов из 26. Предположим, что вопросы задаются последовательно один за другим. Найти вероятность того, что три подряд заданных вопроса - счастливые.

6.  В ящике находится 10 деталей, из которых 5 первого типа, 3 второго, 2 - третьего. Какова вероятность того, что при выборе наугад; первой будет взята деталь первого типа, второй - второго, третьей третьего типа?

7.  Найти вероятность того, что выбранное наудачу изделие является первосортным, если известно, что 4% всей продукции является браком, а 75% небракованных изделий удовлетворяют требованиям первого сорта.

8.  Партия из ста деталей подвергается выборочному контролю. Условием непригодности всей партии является наличие хотя бы одной бракованной детали среди пяти проверяемых. Какова вероятность для данной партии быть непринятой, если она содержит 5 % неисправных деталей.

9.  Подброшены монета и игральный кубик. Найти вероятность того, что на монете выпала цифра, а на кубике - число очков, кратное трем.

10.  Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадет в десятку, равна 0,6. Сколько выстрелов должен сделать стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,8 он попал в десятку хотя бы один раз?

11.  Стрелок стреляет в мишень. Вероятность выбить 10 очков равна 0,3, вероятность выбить 9 очков равна 0,6. Чему равна вероятность выбить не менее 9 очков?

12.  Берется наудачу трехзначное натуральное число от 100 до 999. Какова вероятность того, что хотя бы две его цифры совпадают?

13.  На стеллаже в библиотеке в случайном порядке расставлено 15 учебников. Пять из них в переплете. Наудачу берутся три учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете.