Методическая разработка (стр. 5 )

Решение: Из пяти различных элементов можно составить Р5 перестановок:

Р5 = 5! =1 * 2 * 3 * 4 *5 = 120

Значит всего равновозможных исходов будет 120, а благоприятствующих событию всего один. Следовательно,

Ответ: 1/120.

Задача. На шести одинаковых по форме и размеру карточках написаны буквы слова талант – по одной букве на каждой карточке. Карточки тщательно перемешаны. Их вынимают наудачу и располагают на столе одна за другой. Какова вероятность получить слово талант?

Решение:

1 способ

Занумеруем карточки с буквами:

1	2	3	4	5	6
а	а	л	н	т	т

Слово не изменится, если буквы а переставить местами, но по расположению карточек получится иная комбинация: . Если в каждой из этих комбинаций то же проделать с буквой т, то получим еще две различные комбинации карточек со словом талант. Значит, появлению слова талант благоприятствует 4 элементарных исхода. Общее число равновозможных исходов равно числу перестановок из 6 элементов: Pn=P6=6!=1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 = 720. Следовательно, искомая вероятность:

.

2 способ

Общее число равновозможных исходов можно найти по формуле (1.1.2):

Число благоприятных исходов в этом случае равно одному. Вероятность равна

Ответ: 1/180.

Задача. Среди 25 студентов группы, в которой 10 девушек, разыгрывается 5 билетов. Найти вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 2 девушки.

Решение: Число всех равновозможных случаев распределения 5 билетов среди 25 студентов равно числу сочетаний из 25 элементов по 5, то есть . Число групп по трое юношей из 15, которые могут получить билеты, равно . Каждая такая тройка может сочетаться с любой парой из десяти девушек, а число таких пар равно . Следовательно, число групп по 5 студентов, образованных из группы в 25 студентов, в которую будут входить трое юношей и две девушки, равно произведению . Это произведение равно числу благоприятствующих случаев распределения пяти билетов среди студентов группы так, чтобы три билета получили юноши и два билета – девушки. С соответствии с формулой (2.2.1) находим искомую вероятность:

Ответ: 0,385

1.  На пяти одинаковых карточках написаны буквы И, К, М, Н, С. Карточки перемешиваются и наугад раскладываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово МИНСК?

2.  Из букв слова ротор, составленного с помощью разрезной азбуки, наудачу последовательно извлекаются 3 буквы и складываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово тор?

3.  На пяти одинаковых карточках написаны буквы: на двух карточках л, на остальных трех и. Выкладывают наудачу эти карточки в ряд. Какова вероятность того, что при этом получится слово лилии?

4.  В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди 6 взятых наудачу деталей 4 стандартных.

5.  В ящике находятся 15 красных, 9 голубых и 6 зеленых шаров. Наудачу вынимают 6 шаров. Какова вероятность того, что вынуты 1 зеленый, 2 голубых и 3 красных шара?

6.  В ящике 15 шаров, из которых 5 голубых и 10 красных. Наугад выбирают 6 шаров. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров 2 голубых.

7.  В коробке 30 лотерейных билетов, из которых 26 не являются выигрышными. Наудачу вынимаются одновременно 4 билета. Найти вероятность того, что из этих четырех билетов два окажутся выигрышными.

8.  Набирая номер телефона абонент забыл две последние цифры, помня, что эти цифры различны, набрал наугад. Какова вероятность того, что он с первого раза наберет нужный номер телефона?

9.  В гараже из 10 шин 7 без брака. Какова вероятность того, что среди взятых наугад 6 шин 4 из них окажутся без брака?

10.  В пачке 20 карточек, помеченных номерами 101, 102, 103, … , 120 и произвольно разложенных. Наудачу извлекают две карты. Найти вероятность того, что извлечены карточки с номерами 101 и 120.

11.  В ящике 10 одинаковых деталей, помеченных номерами 1, 2, … , 10. Наудачу извлечены шесть деталей. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей окажутся: а) деталь №1; б) детали №1 и №2.

12.  В ящике 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.

13.  В конверте среди 100 фотографий находится одна разыскиваемая. Из конверта наудачу извлечены 10 фотографий. Найти вероятность того, что среди них окажется нужная.

14.  В ящике 100 деталей, из них 10 бракованных. Наудачу извлечены четыре детали. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей: а) нет бракованных; б) нет годных.

15.  В первой урне два белых и три черных шара, во второй урне три белых и два черных шара. Из каждой урны достали по одному шару. Какова вероятность того, что хотя бы один из двух шаров окажется белым?

16.  В урне 10 одинаковых шаров разного цвета: 2 белых, 3 красных и 5 синих. Наугад вынимаются два шара. Найдите вероятность событий: а) оба шара белые; б) оба шара красные; в) оба шара синие.

17.  Из полного набора 28 костей домино наугад извлекается кость. Найти вероятность того, что вторую извлеченную кость можно приставить к первой, если первая кость: а) оказалась дублем; б) не является дублем.

18.  Найти вероятность того, что при бросании трех игральных костей шестерка выпадет на одной (безразлично какой) кости, если на гранях двух других костей выпадут числа очков, не совпадающих между собой, и не равные шести.

19.  В цехе работают шесть мужчин и четыре женщины. По табельным номерам наудачу отобраны семь человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся три женщины.

20.  В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов пять отличников.

Ответы

1.  1/120

2.  1/15

3.  0,1

4.  0,5

5.  0,17

6.  0,4196

7.  0,071

8. 

9. 

10. 

11.  а) 0,6; б) 1/3

12.  24/91

13.  0,1

14.  а) 0,65; б) 0,00005

15.  19/25

16.  а) 1/45; б) 1/15; в) 2/9.

17.  а) 2/9; б) 4/9.

18.  0,5

19.  0,5

20.  14/55

Глава 3. Вероятности сложных событий.

3.1. Произведение и сумма событий.

Опр 1. Суммой, или объединением, двух событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них. Сумма двух событий А и В обозначается через А+В или . Аналогично определяется и обозначается сумма n событий - событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них. Сумму n событий Al, А2,..., Аn обозначают так:

Опр 2. Произведением, или пересечением, двух событий называется событие, состоящее в одновременном их появлении. Произведение двух событий А и В обозначается через АВ или . Аналогично определяется и обозначается произведение в случае большего числа событий. Произведение n событий Al, А2,..., Аn обозначают:

Понятия суммы и произведения событий распространяются и на бесконечные последовательности событий. В этих случаях применяют соответственно обозначения:

Опр 3. Если событие А обязательно произойдет при появлении некоторого другого события В, то говорят, что событие В представляет собой частный случай события А, и пишут (говорят также, что В влечет А).

Опр 4. Если, , то. есть события А и В в данном опыте могут появиться или не появиться вместе, то их называют равносильными, или эквивалентными, и пишут А=В.

Операции объединения и пересечения событий обладают некоторыми свойствами, аналогичными свойствам сложения и умножения чисел. Эти операции коммутативны:

; (3.1.1)