Тема: вписанный в окружность четырёхугольник (стр. 2 )

Итак, признак четырёхугольника, около которого можно описать окружность формулируется так: для того, чтобы около четырёхугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма его противоположных углов была равна .

Местоположение центра описанной около четырёхугольника окружности.

Теперь посмотрим, где находится центр окружности, описанной около четырёхугольника, если она есть. Справедливо следующее

Утверждение: если четырёхугольник является вписанным, то центр описанной около него окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам четырёхугольника.

В самом деле, серединный перпендикуляр к отрезку содержит все точки, равно удаленные от концов этого отрезка, следовательно, точка пересечения серединных перпендикуляров вписанного в окружность четырёхугольника равно удалена от вершин этого четырёхугольника, то есть от некоторых точек окружности. По определению центра окружности, из этого следует, что данная точка – центр описанной около этого четырёхугольника окружности.

Общие свойства вписанных в окружность четырёхугольников.

Теорема Птолемея.

Вписанный в окружность четырёхугольник обладает рядом интереснейших свойств. Одно из них было доказано древнегреческим математиком и астрономом Клавдием Птолемеем (около 100 г. н.э.-около 178 г. н.э) в его знаменитом сочинении «Альмагест» (астрономы в странах арабского Востока называли эту книгу «Альмаджисти» – «Величайшее», отсюда и происходит её название «Альмагест»).

Вот эта теорема, носящая ныне имя Птоломея: произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений его противоположных сторон.

Докажем её.

Рассмотрим вписанный в окружность четырёхугольник (см. рис.4). Нужно доказать, что

.

E

Возьмём на диагонали такую точку, что . Тогда и подобны, так как

Рис.4

.Поэтому, то есть

. (1)

Ясно также, что ( так как +, а

+, где (по условию)), а значит,

и подобны, так как (опираются на одну дугу), поэтому , то есть

. (2)

Сложив полученные равенства (1) и (2), получим:

+ + .

Теорема доказана.

Это доказательство в основном следовало доказательству самого Птолемея, приведённому им в книге «Альмагест».

Аналог формулы Герона для вписанного в окружность четырёхугольника.

Другому древнему греку Герону Александрийскому (около 1 века н. э.) принадлежит известная формула вычисления площади треугольника через длины его сторон

S=, где a, b, c – стороны треугольника, а p – его полупериметр.

Оказывается, что эта формула обобщается на случай вписанного четырёхугольника, а именно справедлива

Теорема: если вписанный четырёхугольник имеет длины сторон a, b, c, d, то его площадь S может быть вычислена по формуле

S=, где p= - полупериметр четырёхугольника.

Эта теорема была установлена индийским математиком Брахмагуптой (около 598 г. н.э. – 660 г. н.э.). До наших дней дошло его сочинение «Усовершенствованное учение Брахмы», значительную часть которого составляют математические результаты. Докажем формулу Брахмагупты.

Рассмотрим вписанный четырёхугольник (см. рис.5) со сторонами и . Разобьём его диагональю на два треугольника.