Тема: вписанный в окружность четырёхугольник (стр. 1 )

Муниципальный общеобразовательный лицей №17.

Реферат по геометрии.

Тема: вписанный в окружность четырёхугольник.

Учащаяся:

Класс: 10А

Научный руководитель: .

 

г. Северодвинск.

2003 г.

Содержание:

1. Содержание………………………………………………………..2

2.  Введение…………………………………………………………..3

3. Признак четырёхугольника, около которого можно описать окружность………………………………………………………...4

4.  Местоположение центра описанной около четырёхугольника окружности………………………………………………………..5

5.  Общие свойства вписанных в окружность четырёхугольников:………………………………………………………………...6

a)  теорема Птолемея;……………………………………………..-

b)  аналог формулы Герона для вписанного в окружность четырёхугольника;……………………………………………….7

c)  ещё один способ вычисления площади вписанного в окружность четырёхугольника………………………………….8

6.  Свойства вписанного в окружность четырёхугольника, диагонали которого перпендикулярны……………………………..9

7.  Определение гармонического четырёхугольника…………….12

8.  Свойства и признак гармонического четырёхугольника………-

9.  Примеры решения задач………………………………………..15

10.  Заключение………………………………………………… 19

11.  Список используемой литературы………………………….20

Введение.

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.

Существуют различные виды классификаций четырёхугольников, например, по параллельности сторон выделяют параллелограмм, у которого попарно параллельны все стороны, и трапецию, у которой параллельны две стороны, по равенству сторон выделяют ромб и квадрат, по равенству всех углов – квадрат и прямоугольник и так далее. Одна из классификаций предполагает возможность вписать окружность в четырёхугольник и описать окружность около него.

Планиметрические задачи на комбинацию окружности и четырёхугольника, как правило, встречаются на олимпиадах, конкурсах и вступительных экзаменах. Чаще фигурирует вписанный в окружность четырёхугольник, и, даже когда его нет в условии задачи, он может использоваться как вспомогательный элемент.

Изучая литературу, решая геометрические задачи, я обратила внимание на то, что вписанный в окружность четырёхугольник обладает рядом очень интересных свойств. И я решила изучить некоторые из них. Поэтому я свою работу посвятила вписанному в окружность четырёхугольнику.

Признак четырёхугольника, около которого можно описать окружность.

Многоугольник называется вписанным, если существует окружность, на которой лежат все его вершины. Эта окружность называется описанной около многоугольника. Известно, что около любого треугольника можно описать окружность. Легко привести пример и вписанного четырёхугольника – квадрат. Однако, сколько мы не будем пытаться описать окружность около ромба, не являющегося квадратом, ничего не получится. Поэтому среди четырёхугольников полезно выделить класс таких, около которых можно описать окружность.

Необходимое условие того, что около четырёхугольника можно описать окружность таково: сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна .

Докажем его.

Рассмотрим четырёхугольник (см. рис.1), вписанный в окружность. В нём:

, , поэтому

+( +)

Рис.1

, что и требовалось доказать.

C

Теперь докажем, что это же условие является достаточным.

C

 

Рис.2 Рис.3

Рассмотрим четырёхугольник . Пусть+ .Опишем окружность около и покажем, что точка также будет лежать на этой окружности. Предположим, что это не так. Тогда либо она лежит вне окружности (рис.2), либо внутри окружности (рис.3). Пусть прямая пересекает окружность в точках и (возможно совпадающих, если лежит вне окружности, а – касательная). Соединим точки и . Заметим теперь, что , так как, с одной стороны, четырёхугольник – вписанный, поэтому +, а с другой стороны, по условию, +. Но тогда прямые и параллельны, а поскольку они имеют общую точку, это значит, что они совпадают, то есть совпадают и точки и . Таким образом четырёхугольник – вписанный.