Тема: вписанный в окружность четырёхугольник (стр. 7 )

Решение.

Дан вписанный в окружность четырёхугольник , диагонали которого перпендикулярны (см. рис.15). , , . , .Необходимо найти .

По свойству вписанного в окружность четырёхугольника, диагонали которого перпендикулярны .

- прямоугольный, - медиана (так как ), следовательно,(по свойству медианы прямоугольного треугольника), значит, чтобы найти нам достаточно будет найти .

По теореме синусов из :

P

B

E

D

С

A

, так как , то , то есть

.

M

По основному тригонометрическому тождеству

, то есть

Рис.15

,

.

В

,то есть

.

В

, то есть

, отсюда

=.

Ответ: .

Подобные задачи можно встретить во вступительных заданиях. Теперь рассмотрим несколько задач, которые можно отнести к разряду олимпиадных.

Задача 3. На дуге описанной окружности правильного

-угольника взята точка . Докажите, что , где .

Решение.

Дан многоугольник , вписанный в окружность, на которой лежит точка (см. рис.16). Докажем, что , где .

Обозначим сторону многоугольника или отрезок , где

, как , а меньшую диагональ многоугольника или отрезок

A4

A3

A2

A1

A

A2n+1

, где, как .

Тогда, по теореме Птолемея, из вписанного четырёхугольника получаем, что

,

из :

,

Рис.16

из :

,

из :

,