Тема: вписанный в окружность четырёхугольник (стр. 8 )

из :

.

Подобные равенства получаем из всех остальных вписанных в данную окружность четырёхугольников с вершинами в точке и трёх последовательных вершинах данного многоугольника.

Сгруппируем в полученных равенствах сомножители с

нечетными номерами слева, а с четными справа. Сложив эти равенства, получим в левой части:

Аналогично получим в правой части

, отсюда

, следовательно,

, что и требовалось доказать.

Задача 4. Расстояния от центра описанной окружности остроугольного треугольника до его сторон равны , и . Докажите, что .

Решение.

Дан остроугольный , вписанный в окружность радиуса с центром в точке (см. рис.17). Обозначим стороны, , , через , , соответственно. Расстояния от точки до ,, равны , и . Докажем, что .

Пусть , , - середины сторон , и . Мы знаем, что центр описанной около треугольника окружности лежит на

A

C

Bb

пересечении серединных перпендикуляров к его сторонам, следовательно, - основание , - основание , - основание .

C1

B1

A1

Рис.17

Рассмотрим четырёхугольник , в котором, значит, в данный четырёхугольник можно вписать окружность. Тогда, применяя теорему Птолемея, получаем, что

Умножив обе части данного равенства на 2, получим

. (*)

Так как - средняя линия , то .

Тогда из равенства (*) получаем, что. (1)

Аналогично, (2) и (3).

Кроме того,

, то есть

. (4)

Складывая равенства (1), (2), (3), (4), получим

, в конечном итоге получаем, что, что и требовалось доказать.

Заключение.

В данной работе было рассмотрено что такое вписанный в окружность четырёхугольник, каким свойством должен обладать четырёхугольник, чтобы его можно было вписать в окружность, какие свойства присущи вписанному в окружность четырёхугольнику и его особым видам. В заключении работы было разобрано несколько задач.

Но это далеко не всё, что может быть изучено по теме «Вписанный в окружность четырёхугольник». Расширить представленную в реферате тему можно изучением вписанной трапеции, прямоугольника и других особых видов выпуклого четырёхугольника, а также изучением четырёхугольника, который может быть как вписан в окружность, так и описан около неё.

Список используемой литературы.

1.  Журнал «Квант» №2, 1992г. (стр. 37- 39).

2.  Журнал «Квант» №10, 1991г. (стр. 49- 51).

3.  «Факультативный курс по математике 7-9» (стр. 328-329).

4.  «Задачи по планиметрии».

5.  «Геометрия (планиметрия) 9-11».

6.  , , «Практикум по элементарной математике (геометрия)».