Тема: вписанный в окружность четырёхугольник (стр. 3 )

По теореме косинусов

.

Так как - вписанный четырёх-

Рис.5

угольник, то , поэтому , , следовательно,

или

. (1)

Площадь четырёхугольника равна сумме площадей треугольников, на которые он разбивается своей диагональю, то есть

или

. (2)

Возведём равенства (1) и (2) в квадрат и сложим их, учитывая, что . Получим, что

,Окончательно получаем, что S=. Теорема доказана.

Ещё один способ вычисления площади вписанного четырёхугольника.

Площадь вписанного четырёхугольника можно найти и другим

способом. Докажем теорему: если четырёхугольник со сторонами и вписан в окружность радиуса , то его площадь равна

.

Для этого рассмотрим вписанный в окружность радиуса четырёхугольник со сторонами и (см. рис.6).

или .

Пусть диагонали четырёхугольника соответственно равны и , тогда, воспользовавшись формулой , где - стороны треугольника, а - радиус описанной окружности, получаем:

Рис.6

(1) или

. (2)

Перемножим равенства (1) и (2). Получим, что

( так как по теореме Птолемея ), отсюда

, что и требовалось доказать.

Свойства вписанного в окружность четырёхугольника, диагонали которого перпендикулярны.

Также рядом интереснейших свойств обладает вписанный четырёхугольник, диагонали которого перпендикулярны. Укажем некоторые из них.

Свойство1. Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей и перпендикулярная одной из сторон, делит противоположную сторону пополам.

Докажем его.

Пусть - вписанный четырёхугольник, диагонали которого перпендикулярны, и прямая проходит через точку пересечения диагоналей и перпендикулярна стороне (см. рис.7).

C

Точки пересечения её со сторонами и обозначим через и . Надо доказать, что .

Из : , также

,получается, что

дополняет углы и до , из этого следует, что, а

Рис.7

( так как они опираются на одну дугу), и(как вертикальные).

Получаем,

, откуда

- равнобедренный,

- равнобедренный (аналогично), следовательно,

.

Получаем, . Свойство доказано.

Свойство 2. Расстояние от центра описанной окружности до любой из сторон равно половине противоположной стороны.

И действительно, рассмотрим четырёхугольник , вписанный в окружность, диагонали которого перпендикулярны (см. рис.8). - расстояние от центра окружности до стороны . Докажем, что .

E

A

D

B

В равнобедренном . Откуда, - средняя линия , где - диаметр окружности, следовательно, .