Тема: вписанный в окружность четырёхугольник (стр. 6 )

В самом деле, рассмотрим вписанный в окружность четырёхугольник (см. рис.13). Пусть касательные в вершине и пересекаются в точке, лежащей на прямой . Докажем, что этот четырёхугольник гармонический.

между касательной и хордой равен половине

F

C

B

A

D

центрального угла, опирающегося на дугу . В то же время, вписанный равен половине того же центрального угла, следовательно, , тогда и подобны (по двум углам), поэтому

Рис.13

(1) и , следовательно, . (2)

Разделив обе части равенства (2) на , получим

и, следовательно, (смотри равенство (1)).

По условию касательная в точке пересекает в той же точке, поэтому (аналогично), следовательно,

, то есть , то есть четырёхугольник - гармонический, что и требовалось доказать.

Примеры решения задач.

Выше мы рассмотрели общие свойства вписанного в окружность четырёхугольника. Также свойства некоторых особых видов таких четырёхугольников.

Теперь решим несколько задач, в которых встречается вписанный в окружность четырёхугольник.

Задача 1. Докажите, что если четырёхугольник вписан в окружность, то произведение расстояний от точки, лежащей на этой окружности, до двух противоположных сторон равно произведению расстояния от этой точки до двух других сторон, а также

произведению расстояний от той же точки до диагоналей.

Решение.

Дан четырёхугольник вписанный в окружность (см. рис.14). На окружности возьмём точку и обозначим расстояния от этой точки до ,, , , , как , , ,, соответственно.

Докажем, что .

Мы знаем формулу для вычисления площади треугольника

E

D

C

. (1)

Также площадь треугольника можно вычислить по формуле

. (2)

Приравняв равенства (1) и (2), получим, что , то есть

Рис.14

.

Применяя данное равенство, получаем

из (3)

из (4)

из (5)

из (6)

Перемножив равенства (3) и (4), получим, что

, аналогично из равенств (5) и (6) получим, что

, значит, .

Аналогично, из , , , получим равенство

, тогда , что и требовалось доказать.

Задача 2. В окружность вписан четырёхугольник , диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке . Прямая, проходящая через точку и перпендикулярная к пересекает в точке . Найти , если , , .