Тема: вписанный в окружность четырёхугольник (стр. 4 )

H

O

K

C

Получается, что нам надо доказать, что , то есть доказать, что равны хорды, а для этого докажем равенство дуг, стягиваемых этими хордами, а именно и , но , а ,

Рис.8

следовательно, нам нужно доказать равенство и .

В самом деле, в, где , опирается на дугу , и, значит, равен половине этой дуги, то есть , а

. В то же время,

на опирается , следовательно, , из этого

получаем, что , но (так как они опираются на одну дугу), значит, , следовательно, ,

из этого , получаем , следовательно, . Свойство доказано.

Свойство 3. Сумма квадратов сторон равна увосьмерённому радиусу в квадрате описанной окружности.

Докажем его.

A

D

B

С

Рассмотрим вписанный в окружность четырехугольник , диагонали которого перпендикулярны (см. рис.9). В нём , ,, , а радиус описанной окружности равен . Докажем, что .

Рис.9

Обозначим как , как , как , как , как , как, тогда

(так как опирается с на одну дугу), аналогично

, , , .

По теореме синусов получаем из :

,

Из:

,

Из :

,

Из :

.

Из этих равенств получаем, что , тогда ,

(так как ), из этого

следовательно,

. Окончательно получаем, что.

Свойство доказано.

Свойство 4. Ломаная, вершинами которой являются две противоположные вершины треугольника и центр описанной окружности, делит площадь четырёхугольника пополам.

Докажем это свойство.

C

O

H

N

D

K

A

B

Рис.10

Рассмотрим четырехугольник вписанный в окружность, диагонали которого перпендикулярны (см. рис.10). - ломаная, вершинами которой являются две противоположные вершины четырёхугольника и центр описанной окружности. Докажем, что .