Тема: вписанный в окружность четырёхугольник (стр. 5 )

Обозначим как как . Проведём диаметр параллельный диагонали и перпендикулярный диагонали . Обозначим точку пересечения и буквой .

Очевидно, что , получаем

но тогда

. Свойство доказано.

Итак, мы рассмотрели и доказали некоторые свойства вписанного в окружность четырёхугольника, диагонали которого перпендикулярны.

Определение гармонического четырёхугольника.

Теперь обратимся к особому виду вписанного в окружность четырёхугольника – гармоническому четырёхугольника. Гармоническим называется вписанный в окружность четырёхугольник, произведения длин противоположных сторон которого равны.

Очевидным примером такого четырёхугольника служит вписанный дельтоид – четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями, одна из которых делит другую пополам. В частности, он может быть квадратом. Другим частным видом гармонического четырёхугольника является гармоническая трапеция. Ясно, что она равнобедренная.

Рассмотрим теперь общие свойства гармонических четырёхугольников, а также один из признаков гармонического четырёхугольника.

Свойства и признак гармонического

четырёхугольника.

Теорема 1. В гармоническом четырёхугольнике каждая из диагоналей делится точкой их пересечения в отношении квадратов прилежащих сторон.

Действительно, рассмотрим гармонический четырёхугольник (см. рис.11). Пусть - точка пересечения его диагоналей.

Рис.11

и подобны (по двум углам: , как вертикальные, , так как опираются на одну дугу), значит, и

.

и подобны (аналогично), получаем

.

Перемножим полученные пропорции почленно:

Но , как отрезки пересекающихся хорд, следовательно,

или . (*)

Поскольку четырёхугольник гармонический, то , откуда .

Подставим это выражение в (*), получим

.

Аналогично

и , что и требовалось доказать.

Теорема 2. В гармоническом четырехугольнике расстояние от точки пересечения диагоналей до сторон пропорциональны длинам этих сторон. Докажем её.

M

A

D

C

B

Рассмотрим гармонический четырёхугольник (см. рис.12). Пусть - точка пересечения его диагоналей. Обозначим расстояние от точки до прямых , , , соответственно , , , .

Рис.12

(так как и имеют общую высоту).

С другой стороны, отношение этих же площадей равно .

По теореме 1 , тогда из равенства

получаем, что . Аналогично и . Теорема

доказана.

Теперь рассмотрим один из признаков гармонического четырёхугольника.

Теорема 3. Если касательные в концах одной диагонали вписанного в окружность четырёхугольника пересекаются на прямой, содержащей вторую диагональ, или ей параллельны, то этот четырёхугольник гармонический.