Физика атомного ядра и частиц (стр. 2 )

L = 3, n=0, l = 3, 1f, n=1, l = 1, 2p; и т. д.

3s, 2d,1g

L=4 l=0,2,4

1f, 2p

L=3 l=1,3

1d,2s

L=2 l=0,2

1p

L=1 l =1

1s

L=0 l =0

------------------------------

Как следует из таблицы, лишь первые три числа совпадают с реальными магическими числами. Причина в том, что в предыдущих расчетах не было учтено спин-орбитальное взаимодействие. Для выяснения роли этого взаимодействия в потенциале:

рассмотрим, какие значения может принимать полный момент нуклона j:

.

Видим, что j может принимать два значения, которым соответствуют разные вклады в энергию состояния от спин-орбитального взаимодействия:

, где ,

Оценим вклад спин-орбитального члена в потенциале V1 . Для этого найдем величину матричного элемента:

Выразили оператор спин-орбитального взаимодействия через собственные операторы волновой функции нуклона. Подставляя собственные значения этих операторов, получим:

В результате происходит расщепление уровня с заданными l и s на два подуровня с разными j= l ± ½. Из эксперимента известно, что величина а в потенциале V1 отрицательна, поэтому:

Таким образом, уровни с большим значением полного момента сдвигаются вниз относительно энергии:

,

а уровни с меньшим значением j (но с теми же l,s) сдвигаются вверх по энергии.

В итоге, порядок заполнения оболочек нуклонами одного сорта будет следующим:

Изложенная модель дает согласующиеся с экспериментом результаты для легких ядер с А £ 40. Для более тяжелых ядер необходимо учитывать энергию отталкивания протонов. Это приводит к тому, что последовательность уровней для ядер с А > 40 в протонной и нейтроной ямах различно.

Спин и четность в модели оболочек ядра.

Суммарный момент системы одинаковых нуклонов, полностью заполняющих любую подоболочку, равен нулю независимо от квантовых чисел подоболочки и числа 2(j+1) заполняющих ее нуклонов. Это правило является следствием принципа Паули, поэтому на любой заполненной подоболочке всегда будут находится два нуклона с равными по абсолютной величине, но с разными по знаку проекции полного момента на выделенную ось. По этой причине спины основных состояний всех ядер с заполненными оболочками (подоболочками) равны нулю. Согласно (3.7) четность ядра равна:

Учитывая, что показатель степени в формуле для четно-четных ядер величина четная, четность для этих ядер в основном состоянии положительна. В итоге, спин и четность для Ч-Ч ядер будет: JP =0+.

Четность основного состояния ядра с одним нуклоном сверх замкнутой оболочки ( подоболочки) определяется четностью (-1)l неспаренного нуклона, например, пусть нуклон находится в состоянии nLj:

Для нечетно – нечетного ядра спин и четность определятся согласно:

Схема ядерных уровней с учетом спин-орбитальной связи приведена на рис. 1.

Ограниченность одночастичной модели оболочек:

Модель оболочек в варианте ОМО дает заниженные значения возбужденных состояний ядра Е*, магнитных моментов m, квадрупольных моментов Q. Для деформированных ядер получаются неверные результаты по значениям спина и четности, например, с А=19, 21, 23. Так для 19F в основном состоянии:

Рис. 1 Схема ядерных уровней в рамках одночастичной модели: слева —

без спин-орбитальной связи, справа — при нали­чии спин-орби - тальной связи.

Спин должен быть равен JP = 5/2+, экспериментальное значение равно JP = 1/2+.

Оказывается для деформированных ядер состояние нуклона нельзя характе­ризовать квантовыми числами 1 и j, В этом случае момент ко­личества движения, создаваемый нуклоном, следует характеризо­вать модулем проекции ĵ на ось симметрии ядра ½ jz ½(рассматриваются аксиально-симметричные ядра). Квантовое число этой проекции k будет принимать полуцелые значения

k = j, j-1, j-2,..., - j+2, - j+1, - j.

Деформация частично снимает вырождение, присущее одночас­тичным уровням сферически-симметричного потенциала, расще­пляя по энергии состояния с различными значениями модуля ½k½. В силу аксиальной симметрии состояния с k и - k остаются выро­жденными. Для одночастичных уровней таких ядер используется обозначение kР, где Р — четность.

На схеме показана зависимость энергии одночастичных уровней для аксиально-симметричного по­тенциала (потенциала Нильссона) в зависимости от параметра деформации ядра b. Уровень 3d5/2 расщепляется на подуровни 1/2+, 3/2+, 5/2+ , что приводит к частичному снятию вырождения. Неспаренный протон в ядре фтора заполняет уровень 1/2+, поэтому JP(19F) = 1/2+.

Вращательные уровни Ч-Ч несферических ядер, Jgs=0:

Классическая энергия вращения ядра в форме вытянутого эллипсоида дается выражением

Вследствии симметрии J = 0,2,4…., т. е. четность вращающихся состояний равна +1. Отношение ЕВР для уровней ядра будет пропорциональна

J(J+1).

Примеры решения задач.

1. Объяснить особую устойчивость ядер 4He и 16О. Найти спины и четности основных состоя­ний этих ядер.

Решение: Согласно модели оболочек основные со­стояния этих ядер представляют собой замкнутые оболочки — (1S1/2)4 для 4Не и (1S1/2)4 (1Р3/2)8 (lP1/2)4 для 16О. Четности состояний равны P=(-l)∑l, где l - орбитальные моменты нуклонов в оболочках. Спины замкнутых оболочек равны нулю, таким об­разом, основным состоянием обоих ядер является со­стояние 0+.

2. На основании одночастичной модели оболочек найти спин и четность основного состояния трития.

Решение: С точки зрения одночастич­ной модели оболочек ядро 3Н в основном состоянии соответствует конфигурации (1S1/2)3, т. е. представ­ляет собой протонную «дырку» в замкнутой оболочке (1S1/2)4. Следовательно, спин и четность основного состояния ядра трития определяются спином и чет­ностью «дырочного» состояния 1S1/2, т. е. JP=(1/2)+.

3. На основании одночастичной модели оболочек определить магнитный момент ядра трития в основном состоянии. Сравнить результат теоретиче­ского расчета с экспериментальным μ = 2,98μ0 ( μ0 - ядерный магнетон).

Решение: Магнитный момент равен магнитному моменту «дырочного» состояния 1S1/2, т. е. μ = μp = 2,79μ0, так как магнитный орбитальный момент равен нулю. Расхождение с экспериментом указывает на приближенный характер модели.

4. Определить спин, четность и магнит­ный момент основного состояния ядра 3Hе.

Решение: Квантовые числа ос­новного состояния ядра соответствуют квантовым чис­лам нейтронной «дырки» в замкнутой оболочке (1S1/2)4. Поэтому JP =(1/2)+,что совпадает с экспериментальным значением. Магнитный момент μ = μn = -1,91μ0. Экспериментальное значение магнит­ного момента μ = - 2,13μ0.

5. Доказать, что спектр ядра 180Hf (см. 32) представляет собой вращательную «полосу». Указать наиболее вероятные переходы из состояния 8+.

Решение. Для четно-четных ядер энергия вращательного движения

E=, где J - спин состояния, I—момент инерции ядра. Таким образом, для вращательной полосы должно выполняться соотношение

Е(8+) : Е(6+) : Е(4+) : E(2+) = 36 : 21 : 10 : 3. Значения энергий возбужден­ных состояний, рассчитан­ные по энергии состояния 2+, должны составлять Е(4+)=310 кэВ, Е(6+)=651 кэВ, Е(8+)=1116 кэВ. Совпадение с эксперимен­том в пределах 1% для 4+, 2% для 6+ и 11% для 8+ состояния.

Рост расхожде­ния с энергией связан с до­полнительной деформацией ядра в высоковозбужденных состояниях, т. е. с изменением момента инерции I. Наиболее вероятный переход из возбужденного со­стояния 8+: 8+→ 6+→ 4+→2+→0+— каскад электриче­ских квадрупольных переходов Е2.

6. Показать, что возбужденные состоя­ния ядра 107Ag (рис. 3) представляют собой резуль­тат взаимодействия внешнего протона в состоянии (1/2) - с квадрупольными возбуждениями четно-чет­ного остова.