Примеры решения задач.
1.Показать, что среднее время жизни радиоактивных ядер 
, где 
- их постоянная распада. Решение:
(1) ; 
(2)
Вычислим интеграл по частям:
; 
; 
; 
(3)
Вычислим интеграл:
; (4)
Подставим (3) и (4) в (1):
2. Какая доля первоначального количества ядер 
: а) останется через 10 и 100 лет; б) распадется за одни сутки; за 15 лет?
Дано: 
лет.
Решение: 
Число ядер к моменту времени 
:
Доля ядер, оставшихся к моменту :
Доля ядер, распавшихся к моменту :
а) 
б) 
Ответ: а) 0,79; 0,091; б) 
; 0,302.
3. Определить число радиактивных ядер в свежеприготовленном препарате 
, если известно, что через сутки его активность стала равной 0,20 Ки.
Дано: 
, 
,
t =1 день = 86400 с. Найти: N(0).
Решение: 
(1); 
(2)
; 
(3)
Ответ: 
4. Какая доля первоначального количества ядер радиоактивного препарата со средним временем жизни τ: 1) останется через интервал времени, равный 10τ? 2) распадется за интервал времени между t1 = τ и t2 = 2τ?
Решение. Число ядер препарата к моменту t: N(t) = N(0)exp(—t/τ).
1) Доля ядер, оставшихся к моменту t = 10τ, N(10τ)/N(0)=exp(- 10).
2) Доля ядер, распавшихся за интервал времени Δt = t2 – t1, 
.
5. Во сколько раз вероятность распада ядра радиоактивного иода 128I в течение первых суток больше вероятности распада ядра в течение вторых суток?
Решение. Вероятность распада ядра к моменту t равна
1 – W(t) = 1 - 
= 1 – е-λt , λ = 
.
Отношение вероятностей распада за первые и вторые сутки
.
6. Какая доля ядер радиоактивного фосфора 32P распадается в течение второй недели с момента изготовления препарата?
Решение (см. 2.2).
.
7. Определить вероятность распада ядра радиоактивного золота 198Аu
1) в течение четырех суток; 2) за четвертые сутки.
Решение (см. 2.2). 1) х = 1 – е-λt t =0,63; 2) x = W(3) - W(4) = e-3λ – e-4λ = 0,ll.
8. Определить активность, наведенную при облучении 1 мг золота в изотропном потоке тепловых нейтронов интенсивностью 1012 нейтронов/см2· с в течение 1 ч. Учесть, что изотропный поток наводит вдвое большую активность, чем такой же параллельный.
Решение.
197Au + п→198Аu + γ; 198Au→ 198Hg + е- + 
.
Число активных ядер растет при облучении по закону
N (t) = Nнас (1 – е-λt) = νnστ(1 — е-λt ),
где ν — поток нейтронов, σ — эффективное сечение активации, п — число ядер активируемого препарата, 
. Активность получившегося препарата
J (t) = λN(t) = νnσ (1 — е-λt).
Поскольку в данном случае λt<< 1, J(t) = vnσλt. Число атомов в образце n = 
L, где L — число атомов в грамм-атоме.
= 17 мкКu (эффективные сечения активации приведены в приложении).
9. Показать, что в процессе последовательных распадов
238U → …→ 226Ra → …→ 208Pb
устанавливается вековое равновесие.
Решение. Рассмотрим два последовательных распада 1 → 2 → 3;
dN1 = - λ1N1dt—изменение числа ядер 1 происходит за счет распада;
dN2 = - λ2N2dt + λ1N1dt —изменение числа ядер 2 происходит как за счет их распада, так и образования из ядер 1. После интегрирования этих уравнений при условии N2(0) = 0 получим:
N1(t) = N1(0)
; N2(t) = N1(0)
.
Период полураспада 238U значительно больше периодов полураспада его продуктов распада λ1<< λ2, λ3 и т. д. Отсюда
λ2N2(t) 
λ1 N1(0) = λ1N1(t),
что и является условием векового равновесия.
10. В одном грамме природного урана содержится 3,4·10-7 г 226Ra, имеющего период полураспада Т1/2 = 1,62·103 лет. Определить период полураспада 238U, считая, что T1/2(238U) >> T1/2(226Ra).
Решение (см. 2.12).
λUNU = λRaNRa; T1/2(238U) = T1/2(226Ra)
= 4,7·109 лет.
11. Определить верхнюю границу возраста Земли, считая, что весь присутствующий на Земле аргон произошел из калия 40 путем Е - захвата. В настоящее время да каждые 300 атомов аргона приходится один атом 40К.
Решение. 11 % ядер 40К испытывают Е – захват: 
K + e- → 40Ar + νe; 89% атомов испытывают β--распад: K → 
Ca + е- + . Число атомов калия через время t после образования Земли
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 |
