Лекции по дифференциальным уравнениям (стр. 10 )

Упростим:

Дифференцируем:

Решение (7.1) может быть выписано в явном виде

(7.3)

Для матрицы А простой структуры (в ней -диагональна)

(7.4)

А – матрица с постоянными и вещественными коэффициентами.

Лекция №14.

- общее решение. (*)

В частности, для матриц простой структуры:

(*)

Когда матрица А с вещественными коэффициентами - решение.

Пусть А – вещественна с постоянными элементами и А простой структуры.

1) ситуация, когда - вещественны, имеем дело с вещественной экспонентой. порождает вещественные.

стало произвольным вещественным числом.

2) ситуация, когда , - вещественные числа, .

- произвольны и вещественны.

§8.Частные решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами для правых частей специального вида.

(8.1)

Принцип суперпозиций.

Утверждение.

- является решением системы (8.1).

Доказательство.

Чтд

(8.1)

Умножим на :

Подсистема с номером :

экспонента исчезает, но степень оставшегося многочлена нарастает от до .

, если

, если . - максимальный из размеров жордановой клетки, соответствующей .

Получен общий вид. Для поиска коэффициентов используем метод неопределенных коэффициентов.

При этом учли, что:

§9.Линейное дифференциальное уравнение порядка m с постоянными коэффициентами.

(9.1)

(9.1)

(9.2)

Лекция №15.

,

Однородное уравнение

Раскроем определитель по последней строке

Умножим на :

Найдем собственные числа и их кратность (= числу жордановых клеток).

Число жордановых клеток = любому соответствует одна жорданова клетка.

первая компонента собственного вектора

Зададимся произвольным набором коэффициентов с

Итак,

Частное решение дифференциального уравнения для правых частей специального вида.

кратность корня.

ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ

§1.Понятие об устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости.

(1.1)

(1.2)

Будем полагать, что существует, единственно и определено для всех .