Лекции по дифференциальным уравнениям (стр. 8 )

По лемме 2.1

. Это означает, что вектор-функции линейно зависимы.

- система решений (2.1)

Пример.

- линейно независимая система, но . Это получилось, т. к. не существует системы дифференциальных уравнений, для которой и были бы решениями.

Лекция №11.

§3.Формула Остроградского-Лиувилля.

Лемма 3.1

Справедлива формула дифференцирования определителя:

Доказательство.

Таким образом получили формулу (3.1).

Теорема 3.1

Пусть - есть вектор-функции, являющиеся решением однородной системы . Тогда справедлива формула Остроградского-Лиувилля:

(3.2)

Доказательство.

Посчитаем определитель Вронского.

Получено уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируем и приходим к формуле:

§4.Фундаментальная система решений. Структура общего решения однородной системы линейных дифференциальных уравнений.

(4.1)

(4.2)

(4.3)

Определение.

Система из линейно независимых вектор-функций (4.2), которые являются решениями системы (4.1), называется фундаментальной системой решений системы (4.1). Тогда матрица (4.3) , составленная из системы ФСР, называется фундаментальной матрицей.

Теорема 4.1

ФСР существуют.

Доказательство.

Рассмотрим систему (4.1) на некотором интервале и зафиксируем . Рассмотрим базис в , состоящий из функций .

- решение, соответствующее -той задаче Коши.

Определитель Вронского этих решений в т. :

(в силу линейной независимости векторов)

Воспользуемся свойством формулы Остроградского-Лиувилля, именно: раз , то .

Для того, чтобы решения были линейно независимыми, необходимо и достаточно, чтобы .

- линейно независимы, значит образуют фундаментальную систему решений.

Чтд

Теорема 4.2. Об общем решении однородной системы.

Пусть (4.2) – ФСР системы (4.1).

Тогда любое решение системы (4.1) можно представить в виде линейной комбинации

, (4.4)

где - произвольные константы.

С другой стороны, любая функция вида (4.4) является решением.

Доказательство.

Фиксируем . Пусть - произвольное решение системы (4.1).

Вычислим значения

Они ФСР, значит вектора линейно независимы, следовательно, образуют базис в пространстве . можно разложить по этому базису:

Рассмотрим функцию

с найденными .

, .

Воспользовавшись теоремой единственности, получаем .

справедливо всюду на .

Обратно.

По лемме 2.1 функция (4.4)

Чтд

Рассмотрим систему (4.2)

(4.5)

Теорема 4.3

Если непрерывно-дифференцируемые вектор-функции (4.2) удовлетворяют условию (4.5), то существует система (4.1) с ФСР (4.2).

Доказательство.

То, что (4.2) образует ФСР . Можем посчитать правую часть. Значит существует и единственна.

Чтд

Замечание 4.1

Вектор-функции (4.2) при удовлетворяют системе

Если разложить этот определитель по I столбцу, то получим систему (4.1)

§5.Общее решение линейных неоднородных систем. Метод вариации постоянных.

(5.1)

Лемма 5.1

Пусть - частное решение неоднородной системы (5.1), а - решение однородной системы (4.1). Тогда является решением неоднородной системы (5.1).

Доказательство.

Чтд

Лемма 5.2

Пусть и - является решением неоднородной системы (5.1). Тогда их разность является решением однородной системы (4.1).

Доказательство.

Чтд

Теорема 5.1. (Об общем решении неоднородной системы)

Пусть - ФСР системы (4.1), а - частное решение неоднородной системы (5.1).

Тогда решение системы (5.1) представимо в виде линейной комбинации

(5.2)

С другой стороны, вектор-функция (5.2) удовлетворяет системе (5.1).

Доказательство.

В силу леммы 5.2 разность - является решением системы (4.1).

В силу теоремы 4.2 можем представить любое решение однородной системы в виде линейной комбинации

(5.2)