Лекции по дифференциальным уравнениям (стр. 2 )

Замечание.

Иногда дифференциальные уравнения (2.1) не являются уравнениями в полных дифференциалах. Однако, найдется функция такая, что при умножении на (2.1)

Если это так, тогда – интегрирующий множитель.

§3. Уравнения с разделяющимися переменными.

Уравнения с разделенными переменными.

По теореме (2.1) – общий интеграл уравнения (3.1), который может быть записан в виде:

Уравнения с разделяющимися переменными.

Можем свести это уравнение к виду:

.

Уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными.

1)

Введем функцию

2) Однородные уравнения.

, , где и однородные функции одной степени однородности равной .

– однородная функция степени .

Пример.

,

Вводится замена

Возможны дополнительные решения!

Если , то

Если , то

3)

Обозначим и .

Лекция 4. Задача Коши

Теорема 5.2 (Теорем Пеано)

Пусть и . Тогда у задачи Коши (5.1) и (5.2) существует решение, определенное на некотором отрезке .

Доказательство.

Подставляя в (5.1) получаем некоторый коэффициент

Получим некоторую ломаную (ломаную Эйлера) – некоторое приближение к искомому решению .

Заметим, что ломаная Эйлера не выйдет из области , в силу построения диагоналей AC и BD: .

,

– равномерно ограничена на (одной константой)

Неравенство гарантирует равномерную непрерывность

В силу леммы Асколи-Арцелла на

Докажем, что и есть решение задачи Коши. Фиксируем . Устремляем

Стремится ли к нулю величина

равномерно непрерывна на S:

равномерно