Лекции по дифференциальным уравнениям (стр. 4 )

, определенное на

В точке должна существовать производная.

Замечание.

Аналогичные рассуждения можно провести для случая продолжения решения влево.

Из доказанного следует, что на отрезке можно продлить в обе стороны.

Пример 1.

Полное на .

Пример 2.

Полное на

Лекция № 6.

Теорема 7.1

Пусть - решение дифференциального уравнения , определенное на промежутке , где . Для того, чтобы решение нельзя было продолжить вправо необходимо и достаточно, чтобы было верно, по крайней мере, одно из следующих свойств решения:

1)

2)

Примеры, приведенные выше, иллюстрируют эти свойства.

§8.О гладкости решений дифференциального уравнения.

(8.1)

- решение, определенное на

на (8.2)

Теорема 8.1

Пусть - решение дифференциального уравнения (8.1), определенное на . Если , где , то .

Доказательство.

…

В итоге

Следствие.

Если правая часть дифференциального уравнения является бесконечно дифференцируемой, то решение тоже является бесконечно дифференцируемым.

§9.Дифференциальные уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производных.

(9.1)

(9.2)

Пример 9.1.

Для задачи Коши добавим условие (одного уже не достаточно)

Пример 9.2

,

Методы решения.

1. 

2.  метод введения параметра.

3.  метод введения параметра.

Это равенство справедливо в силу инвариантности формы первого дифференциала.

Уравнение Лагранжа.

метод введения параметра.

Уравнение Клеро.

Частный случай уравнения Лагранжа. Но при решении методом ввода параметра возникает деление на ноль.

Лекция № 7.

(9.1)

(9.2)

(9.3)

(9.4)

Теорема 9.1.

Пусть задана и непрерывна в некоторой окрестности точки . Пусть также , непрерывны в этой окрестности и выполняется условия:

1)

2)

Тогда существует решение дифференциального уравнения (9.1), определенное на отрезке , удовлетворяющее условиям (9.2), (9.3).

Если дополнительно , непрерывная в , то это решение единственно.