Лекции по дифференциальным уравнениям (стр. 5 )

Доказательство.

По теореме о неявной функции при выполнении условий непрерывности и , где - непрерывная функция, заданная в некоторой окрестности точки и такая, что , - единственная.

Из теоремы Пеано получаем, что существует решение, определенное на .

- непрерывная функция, следовательно выполняется условие Липшица по переменной . Значит решение единственно.

§10.Неравенство Гронуолла.

(10.1)

Теорема 10.1 (лемма Гронуолла)

Пусть , удовлетворяющая дифференциальному неравенству (10.1), где .

Тогда справедливо неравенство Гронуолла:

(10.2)

Доказательство.

Решение дифференциального неравенства оценивается сверху решением дифференциального уравнения.

Проинтегрируем от до (текущей точки):

Следствие 10.1

Пусть неотрицательная функция удовлетворяет неравенству

, где (10.3)

Тогда функция удовлетворяет неравенству Гронуолла (10.2).

Доказательство.

Фиксируем точку . Рассмотрим . Могут быть два варианта.

1) - очевидно, ведь правая часть неотрицательна.

2)

2а)

2б)

2а) на

2б) Пусть

, но

Используя предельный переход, можем включить точку в отрезок

НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.

§1.Нормальные системы дифференциальных уравнений первого порядка.

(1.1)

заданы и непрерывны в некоторой области

- искомые функции.

Введем вектор-функцию

Лекция №8.

(1.1)

Чтобы задать задачу Коши:

, (1.2)

Если непрерывна в , подразумевается применимость этого свойства по всем компонентам вектор-функции.

Определение.

Вектор-функция , определенная на промежутке , называется решением системы (1.1), если

1)

2)

3)

Лемма 1.1

Вектор-функция - является решением задачи Коши (1.1), (1.2) на тогда и только тогда, когда она является решением интегрального уравнения (1.3)

Пусть последовательность непрерывна на вектор-функций.

Определение.

Последовательность равномерно ограничена, если

Определение.

Последовательность называется равностепенно непрерывной, если

равномерно ограничена и равностепенно непрерывна равномерно ограничена и равностепенно непрерывна для всех .

Теорема 1.1 (Лемма Асколи-Арцелла)

Если последовательность равномерно ограничена и равностепенно непрерывна на , то из нее можно выделить подпоследовательность

Доказательство.

равномерно ограничена и равностепенно непрерывна. В силу леммы Асколи-Арцелла для последовательности скалярных функций:

равномерно ограничена и равностепенно непрерывна