Лекции по дифференциальным уравнениям (стр. 9 )

Обратно.

Из леммы 5.1 и теоремы 4.2 получаем, что функция вида (5.2) удовлетворяет системе (5.1)

Чтд

Из этой теоремы получаем, что общее решение линейной неоднородной системы есть сумма частного решения неоднородной системы и общего решения, соответствующего однородной системе.

Лекция №12.

Метод вариации постоянных.

- ФСР

- частное решение.

- формула общего решения.

Вопрос: где взять ?

§6.Линейное дифференциальное уравнение m-ного порядка

(6.1)

- линейный дифференциальный оператор m-ного порядка.

(6.1)

Для решения задачи Коши возведем

(6.3)

(6.1)~(6.3)

Теорема 6.1

При любых решение задачи Коши (6.1), (6.2) существует, единственно и определено на всем

Рассмотрим - решение однородного уравнения

(6.6)

является решением системы .

(6.5) линейно зависима (6.6) линейно зависима.

(6.5) линейно независима (6.6) линейно независима.

Определение.

Определителем Вронского системы функций называется

Теорема 6.2 (О свойствах определителя Вронского)

1) Если система функций (6.5) линейно зависима, то на .

2) Если (6.5) – система решений однородного уравнения (6.1), то

·  Либо на и система линейно зависима

·  Либо на и система линейно независима

Теорема 6.3 (Формула Остроградского-Лиувилля)

Пусть - система решений однородного уравнения .

Пусть - произвольно. Тогда .

Определение.

Система линейно зависимых решений однородного уравнения называется ФСР.

(6.5) – ФСР для

(6.6) – ФСР для

Теорема 6.4

ФСР для однородного уравнения существуют (их бесконечно много).

Теорема 6.5 (об общем решении однородного уравнения)

Пусть - ФСР. Тогда всякое решение однородного уравнения может быть представлено в виде

, (6.7)

где - некоторые постоянные.

С другой стороны, при любом выборе постоянных формула (6.7) дает решение однородного уравнения .

Теорема 6.6. (Об общем решении неоднородного уравнения )

Пусть - ФСР, а - частное решение неоднородного уравнения . Тогда всякое решение неоднородного уравнения имеет вид

(6.8)

с некоторыми постоянными .

С другой стороны, при любом выборе (6.8) дает решение неоднородного уравнения.

Метод вариации постоянных.

Лекция №13.

Восстановление уравнения по фундаментальной системе его решений.

- ФСР

- непрерывно дифференцируемы на и линейно независимы,

Разложим определитель по первому столбцу (начиная снизу):

- решения, причем линейно независимые. Их m штук.

§7.Структура общего решения однородной системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

- постоянные

Комплексная экспонента:

- решение

Пусть А – некоторая матрица. Тогда - Жорданова форма матрицы А.

- циклическое подпространство, соответствующее .

Базис в

(7.1)

(7.2)

(7.2) распадается на n независимых частей. Одна из них: