Лекции по дифференциальным уравнениям (стр. 6 )

На - том этапе выбираем подпоследовательность - ных компонент,

Теорема 1.2 (Теорема Пеано)

Пусть . Тогда задача Коши (1.1), (1.2) имеет решение, определенное на отрезке

Доказательство.

- замкнутый шар , - радиус. (1.4)

Вопрос: не выйдем ли за границу области ?

- равномерно ограниченна и равностепенно непрерывна. По лемме Асколи-Арцелла

-фиксир.

Устремим . Тогда

является решением (1.3), а значит и решением (1.1), (1.2).

Единственность решения задачи Коши.

Определение.

удовлетворяет в локальному условию Липшица по переменной , если окрестность и постоянная такие, что

Теорема 1.3.

Пусть . Если удовлетворяет в локальному условию Липшица по переменному , то решение задачи Коши (1.1), (1.2) единственно.

Доказательство.

Пусть существуют два различных решения на промежутке и .

на

Неравенство Гронуолла:

на

Получено противоречие.

Лекция №9.

(1.1)

(1.2)

Когда правая часть удовлетворяет локальному по условию Липшица, то для случая одного уравнения:

Лемма 1.1

Пусть . Тогда

Доказательство.

Пусть

Лемма 1.2

Пусть . Тогда для всех справедлива формула конечных приращений для вектор-функций:

Доказательство:

Утверждение 1.1

Если у существует матрица Якоби , то удовлетворяет локальному в условию Липшица (непрерывность в матрице подразумевает непрерывность всех ее компонент).

Доказательство.

- замкнутая окрестность. В этой окрестности любая непрерывная функция ограничена.

Продолжение решений