Лекции по дифференциальным уравнениям (стр. 11 )

(1.3)

- возмущенное начальное значение.

Определение.

Решение задачи (1.1), (1.2) называется устойчивым по Ляпунову, если

Определение.

Решение задачи (1.1), (1.2) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и

Лекция №16.

Пример.

Проведем исследование на устойчивость

- некоторое комплексное число.

Вычтем:

,

Итог – устойчивость по Ляпунову.

Если , то устойчивости по Ляпунову нет.

есть асимптотическая устойчивость.

нет асимптотической устойчивости.

Вычтем из (1.3) (1.1):

Определение.

Точка покоя системы (1.5) называется устойчивой по Ляпунову, если

Определение.

Точка покоя системы (1.5) называется асимптотически устойчивой, если она устойчива по Ляпунову и

Неустойчивость:

Ограничение, накладываемое на правую часть системы (1.5):

§2.Устойчивость систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

А – матрицы с постоянными элементами.

Теорема 2.1

Точка покоя системы (2.3) устойчива по Ляпунову тогда и только тогда, когда справедливо следующее свойство:

(А)

Доказательство.

Разложение Тейлора:

Предположим, что (А) выполняется:

Если

Если

(А)

Точка покоя устойчива по Ляпунову

Обратно:

от противного, пусть точка покоя устойчива и не выполнено свойство (А), т. е.

Либо Либо

В обоих случаях устойчивости нет. Противоречие.

Лекция №17.

, А – матрица с постоянными коэффициентами.

Теорема 2.2

Для того, чтобы точка покоя была асимптотически устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы

Доказательство.

устойчивость по Ляпунову.

Обратно:

Асимптотическая устойчивость. Пусть

§3.Простейшие типы точек покоя

(пропущено. См. конспект)

Лекция №18.

§4.Исследование на устойчивость по первому приближению.

дифференцируема по

(4.2)

- система уравнений первого приближения. (4.3)

Рассмотрим случай, когда матрица А не зависима, или система (4.1) стационарна в первом приближении.

(4.4)

Теорема 4.1.(Достаточное условие асимптотической устойчивости)

Пусть система (4.1) стационарна в первом приближении и выполнено условие (4.4). Если , то точка покоя системы (4.1) асимптотически устойчива.

Доказательство.

Замена в (4.2)

(4.5)

Скалярно умножим (4.5) на

Положим

(4.6)

Устойчивость по Ляпунову.

(4.6) справедливо

, если

Асимптотическая устойчивость.

Чтд

Лекция №19.

Лекция №20.

Лекция №21.