Лекции по дифференциальным уравнениям (стр. 3 )

Переходя к пределам получаем равенство:

Аналогичные рассуждения проводим для отрезка []. Получим, что - решение задачи Коши (5.1), (5.2)

§6. Единственность решения задачи Коши.

(6.1)

(6.2)

Задача Коши (6.1), (6,2) имеет единственное решение, если любые два ее решения, определенные на одном промежутке тоже совпадают. Непрерывность не гарантирует единственность.

Пример:

В качестве решения могут выступать следующие функции:

, , , и т. д.

Лекция № 5. Единственность решения задачи Коши.

Определение.

Пусть , . Если удовлетворяет локальному в условию Липшица по переменной , если

и для

Теорема 6.1.

Пусть , . Если удовлетворяет локальному в условию Липшица по переменной , то решение задачи Коши (6.1), (6.2) единственно.

Доказательство.

Предположим, что существуют два различных решения задачи Коши, определенные на

Графики и принадлежат

(*)

При

Противоречие.

Утверждение.

Если , то удовлетворяет условию Липшица по переменной

Доказательство.

. - открытое со своей окрестностью.

Определение.

удовлетворяет локальному в условию Осгуда по переменной , если и , где - диаметр окрестности , , и при этом выполняется неравенство:

Теорема 6.2 (теорема Осгуда)

Пусть , . Если удовлетворяет локальному в условию Осгуда по переменной , то решение задачи Коши единственно.

Доказательство.

Доказательство проводится аналогично доказательству теоремы 6.1 до (*).

§7.Продолжение решений.

(7.1)

- решение уравнения (7.1), определенное на некотором промежутке

Определение.

называется продолжением решения вправо, если определена на промежутке является решением дифференциального уравнения (7.1) и

Аналогично вводится определение продолжения решений влево.

Определение.

Решение дифференциального уравнения, которое не может быть продолжено ни влево, ни вправо, называется полным.

Утверждение 7.1.

Пусть - решение дифференциального уравнения (7.1), определенная на промежутке . Тогда решение может быть продолжено вправо.

Доказательство.