Лекции по дифференциальным уравнениям (стр. 1 )

Лекции по дифференциальным уравнениям

3 семестр

Лектор

Лекция № 1. ВВЕДЕНИЕ. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ.

Определение 1.

Обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ) n-ого порядка называется соотношение вида между независимой переменной , искомой функцией и её производными .

– искомая функция.

Определение 2.

Решение ДУ (1) – функция , подстановка которой и её производных, обращает его в тождество.

График решений ДУ называется интегральной кривой.

Пример.

1.

2.

Определение 3.

Общее решение ДУ – множество всех его решений

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА.

§1. ДУ I порядка, разрешенные относительно производной.

задана и непрерывна в некоторой области G плоскости Оxy.

Определение 4.

Пусть , тогда промежутком .

Определение 5.

Функция , определённая на , называется решением ДУ (1.1), если:

1. 

2. 

3. 

Замечание.

Область определения решений – связанное множество.

 

Пример.

Понятие о поле направления.

Метод изоклины.

Изоклина – кривая

 

Пример.

§1. ДУ I порядка в симметрической форме.

(2.1)

Лекция №2

Если в некоторой окрестности точки функция

, то из

. (2.2)

Здесь функция зависит от и при подстановке в уравнение (2.1) получаем верное тождество.

А если , то

. (2.3)

В этом случае функция зависит от .

Уравнения в полных дифференциалах.

Определение. Уравнение (2.1) называется уравнение в полных дифференциалах, если существует функция для которой левая часть уравнения (2.1) является первым дифференциалом: .

Это будет тогда, когда , а .

Пример.

.

Теорема 2.1

Пусть (2.1) – уравнение в полных дифференциалах. Тогда общий интеграл дифференциального уравнения (2.1) имеет вид:

, (2.4)

где – произвольная постоянная.

Доказательство.

Пусть в окрестности . Пусть также – решение дифференциального уравнения (2.1), т. е. уравнение (2.2).

.

Обратно.

Пусть некоторая гладкая функция удовлетворяет уравнению (2.4) для

=> (2.2) => является решением (2.1).

Случай, когда доказывается аналогично.

Теорема 2.2

Пусть непрерывны в окрестности некоторой точки .

Для того, чтобы уравнение (2.1) было уравнением в полных дифференциалах необходимо и достаточно, чтобы .

Доказательство.

Пусть (2.1) является уравнением в полных дифференциалах и существует функция . Тогда ; .

Т. к. и непрерывны, то =>

Обратно.

Пусть . Тогда положим .

. Функции и непрерывны, значит непрерывно дифференцируема и .