Рабочая программа дисциплины Элементарная геометрия (стр. 3 )

10. Найдите угол между двумя непересекающимися ребрами пра­вильной треугольной пирамиды.

11. В правильной четырехугольной пирамиде со стороной основания, равной боковому ребру, найдите угол между стороной основания и скрещи­вающимся с ней боковым ребром.

12. Могут ли быть перпендикулярными прямые OB и OC, если углы AOB и AOC равны каждый 60°?

13. A, B, C - точки на попарно перпендикулярных лучах OA, OB, OC. Найдите углы треугольника ABC, если известно, что OA=OB=OC.

14. В прямоугольном параллелепипеде угол между диагоналями од­ного из диагональных сечений равен 90°. Может ли угол между диагоналя­ми разных диагональных сечений равняться 90°?

15. Диагональ прямоугольного параллелепипеда, основанием кото­рого является квадрат, вдвое больше стороны основания. Найдите углы между диагоналями параллелепипеда.

16. Прямые a и b параллельны. Прямые a и c пересекаются под прямым углом. Укажите взаимное расположение прямых b и c (в общем слу­чае) и угол между ними.

17. Прямые a и b параллельны. Прямые a и c пересекаются под углом 45°. Укажите взаимное расположение прямых b и c (в общем случае) и угол между ними.

18. Концы отрезка AB принадлежат двум плоскостям a и b, которые пересекаются по прямой MN. В плоскости b проведена прямая BC, параллельная прямой MN. Прямая BC образует с прямой AB угол в 30°. Найдите углы между прямыми AB и MN.

19. Дан куб A...D1. Найдите углы, образуемые: а) радиусами OK и O1K1 окружностей, вписанных в грани ABCD и A1B1C1D1, проведенными в точки касания с ребрами DC и A1D1; б) прямыми BD и O1K1.

20. На поверхности куба найдите точки, из которых диагональ куба видна под наименьшим углом.

21. Докажите, что в прямоугольном параллелепипеде боковое ребро перпендикулярно плоскости основания.

22. Докажите, что в прямоугольном параллелепипеде диагональ осно­вания перпендикулярна пересекающему ее боковому ребру.

23. Докажите, что в кубе каждое ребро перпендикулярно двум его граням.

24. Боковое ребро параллелепипеда перпендикулярно диагоналям основания. Докажите, что этот параллелепипед является прямым.

25. В правильном тетраэдре проведите плоскость, перпендикулярную его ребру.

26. В кубе A...D1 докажите перпендикулярность прямых AC1 и BD.

27. Докажите, что в правильной треугольной пирамиде сторона осно­вания перпендикулярна скрещивающемуся с ней ребру.

28. Как расположена относительно плоскости треугольника прямая, перпендикулярная двум его сторонам?

29°. Верно ли, что прямая, пересекающая круг в центре и перпен­дикулярная: а) его диаметру; б) двум его диаметрам, перпендикулярна плоскости круга?

30. Прямая a пересекает плоскость ? и не перпендикулярна этой плоскости. Существуют ли в плоскости ? прямые, перпендикулярные a?

31. При каком взаимном расположении двух прямых через одну из них можно провести плоскость, перпендикулярную другой?

32. Определите вид треугольника, если через одну из его сторон можно провести плоскость, перпендикулярную другой стороне.

33. Прямая AB пересекает плоскость ?. В плоскости ? расположен треугольник CDE; AB перпендикулярна CD и AB перпендикулярна DE. Каково взаимное расположение прямых AB и CE?

34. Два прямоугольных треугольника ABC и DBC, плоскости кото­рых не совпадают, имеют общий катет, а через два других катета AC и CD проведена плоскость ?. 1). Докажите, что общий катет перпен­дикулярен любой прямой c плоскости ?, проведенной через точку C. 2). Можно ли опустить условие о несовпадении плоскостей данных треугольни­ков? 3). Можно ли опустить условие о том, что c проходит через точку C?

35. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, ребра кото­рого равны a, b, c.

36. Докажите, что если прямая a перпендикулярна плоскости ?, и прямая b параллельна прямой a, то прямая b также перпендикулярна плос­кости ?.

37. Докажите, что если прямая а перпендикулярна плоскости ? и плоскость ? параллельна ?, то прямая а перпендикулярна плоскости ?.

38. Докажите, что через любую точку пространства проходит единс­твенная прямая, перпендикулярная данной плоскости.

39. Докажите, что через любую точку пространства проходит единс­твенная плоскость, перпендикулярная данной прямой.

40. Может ли ортогональная проекция отрезка быть: а) меньше отрезка; б) равна отрезку; в) больше отрезка?

41. Может ли ортогональная проекция угла быть: а) меньше угла; б) равна углу; в) больше угла?

42. Может ли ортогональная проекция квадрата быть: а) прямоугольником; б) параллелограммом; в) трапецией?

43. Постройте ортогональную проекцию прямоугольного параллелепипеда.

44. Какой фигурой является ортогональная проекция куба на плоскость, перпендикулярную диагонали куба?

45. Треугольная пирамида SABC ортогонально проектируется на основание ABC. Докажите, что если вершина S проектируется внутрь треугольника ABC, то плоские углы при вершине пирамиды меньше их ортогональных проекций.

46. Какова наибольшая площадь ортогональной проекции правильного тетраэдра с ребром a?

47. В каком случае площадь ортогональной проекции прямоугольного параллелепипеда будет наибольшей?

48. Одна из двух скрещивающихся прямых пересекает плоскость под углом 60°, а другая перпендикулярна этой плоскости. Найдите угол между данными скрещивающимися прямыми.

49. Будут ли в пирамиде боковые ребра равны, если они образуют равные углы с плоскостью основания? Сформулируйте обратное утвержде­ние. Верно ли оно?

50. Дан треугольник ABC и точка D, которая не принадлежит его плоскости. Наклонные DA, DB, DC составляют равные углы с плоскостью треугольника. Докажите, что точка D ортогонально проектируется на плоскость треугольника в центр описанной около треугольника окружнос­ти.

51. Дан треугольник ABC и точка K, которая не принадлежит его плоскости. KD, KE, KF – перпендикуляры, опущенные из точки K на стороны треугольника. Эти перпендикуляры одинаково наклонены к плоскости треугольника. Докажите, что точка K ортогонально проектируется в центр вписанной в треугольник окружности.

52. Через сторону квадрата проведена плоскость, составляющая с диагональю квадрата угол 30°. Найдите углы, которые образуют с плос­костью стороны квадрата, наклонные к ней.

53. Основание равнобедренного треугольника лежит в плоскости ? (плоскость треугольника не совпадает с плоскостью ?). Какой из уг­лов больше: угол наклона боковой стороны к плоскости ? или угол накло­на высоты, опущенной на основание треугольника, к плоскости ??

54. Из вершины A квадрата ABCD перпендикулярно его плоскости проведен отрезок AK, равный 3. Из точки K опущены перпендикуляры на стороны BC и CD. Перпендикуляр из точки K к стороне BC равен 6. Найди­те углы, которые образуют эти перпендикуляры с плоскостью квадрата.

55. Какую фигуру на плоскости ? образуют основания наклонных, проведенных к плоскости ? из точки, не принадлежащей плоскости и об­разующих равные углы с плоскостью ??

56. Докажите, что ортогональная проекция наклонной равна произведению этой наклонной на косинус угла, который она образует с плоскостью проектирования.

57. Найдите расстояние между вершиной A1 и плоскостью AB1D1 куба A…D1, если ребро куба равно a.

58. В прямой четырехугольной призме, в основании которой - ромб со стороной а и острым углом ?, найдите расстояние между противоположными боковыми граня­ми.

59. Ребро правильного тетраэдра равно a. Найдите расстояние между его скрещивающимися ребрами.

60. В правильной треугольной призме со стороной основания а и боковым ребром b найдите расстояния между скрещивающи­мися ребрами.

61. Для куба A...D1 с ребром а найдите расстояние между скрещи­вающимися прямыми: а) AD и A1C1; б) AC1 и DD1; в) AD и A1B1; г) AC и B1D1; д) AC и DD1; е) AC1 и BD.

62. Докажите, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями, в которых лежат эти пря­мые.

63. Найдите геометрическое место точек пространства, равноудален­ных от двух параллельных прямых.

64. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна a, боковое ребро - b. Найдите высоту пирамиды.

65. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна а, высота - h. Найдите боковое ребро пирамиды.

66. Как найти точку, равноудаленную от четырех данных точек, не принадлежащих одной плоскости?

67. Ребро куба равно a. Найдите расстояние между скрещивающимися диагоналями смежных граней.

68. Докажите, что две плоскости, проходящие через концы обеих троек ребер куба, сходящихся в концах диагонали куба, рассекают эту диагональ на три равные части.

69. Докажите, что отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с точками пересечения медиан противоположных граней, пересекаются в одной точке, называемой центроидом тетраэдра, которая делит эти отрезки в отношении 3 : 1, считая от вершин тетраэдра.

70. Докажите, что расстояние между скрещивающимися прямыми являет­ся наименьшим из всевозможных расстояний между точками на этих прямых.

71. Дана плоскость a и две точки A и B по одну сторону от нее. Найдите точку C на плоскости a, чтобы сумма расстояний AC + CB была наименьшей.

72. Дана прямая a и две точки A и B такие, что прямые a и AB скрещиваются. Найдите точку C на прямой a, чтобы сумма расстояний AC + CB была наименьшей.