73. В правильной треугольной призме найдите угол между боковыми гранями.
74. В кубе A…D1 найдите угол наклона плоскости ABC1 к плоскости ABC.
75. Найдите угол между гранями правильного тетраэдра.
76. Найдите геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от двух пересекающихся плоскостей.
77. Через сторону BC треугольника ABC проведена плоскость a под углом 30° к плоскости треугольника. Высота AD треугольника ABC равна a. Найдите расстояние от вершины A треугольника до плоскости ?.
78. Через катет BC=a равнобедренного прямоугольного треугольника ABC (угол C равен 90°) проведена плоскость ?, образующая с плоскостью треугольника угол 30°. Найдите расстояние от вершины A до плоскости ?.
79. Через сторону BC треугольника ABC проведена плоскость под углом 30° к плоскости треугольника; угол C равен 150°, AC = 6. Найдите расстояние от вершины A до этой плоскости.
80. Дан квадрат ABCD, через вершину D параллельно диагонали AC проведена плоскость ?, образующая с диагональю BD угол 60°. Чему равен угол между плоскостью квадрата и плоскостью ??
81. Основанием высоты четырехугольной пирамиды является точка пересечения диагоналей основания пирамиды. Верно ли, что двугранные углы, образованные боковыми гранями пирамиды с плоскостью основания, равны, если основанием пирамиды является: а) квадрат; б) параллелограмм; в) ромб; г) равнобедренная трапеция?
82. Докажите, что если основанием высоты пирамиды является центр вписанной в основание окружности, то двугранные углы, образованные боковыми гранями пирамиды с плоскостью основания, равны.
83. Нарисуйте многогранник, ограниченный плоскостями, проходящими через все 12 ребер куба и образующими углы 45° с гранями куба, сходящимися в этих ребрах (ромбододекаэдр).
84. Докажите, что площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению площади этого многоугольника на косинус угла между плоскостями многоугольника и его проекции.
85. В основании прямой призмы параллелограмм со сторонами 4 дм и 5 дм. Угол между ними 30°. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, если известно, что она пересекает все боковые ребра и образует с плоскостью основания угол 45°.
86. Боковое ребро прямой призмы равно 6 см. Ее основание – прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 2 см. Найдите площади сечений призмы плоскостями, проходящими через каждый из данных катетов и образующими углы 60° с плоскостью основания.
87. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 4 см. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через середины двух сторон основания и образующей угол 45° с его плоскостью, если известно, что плоскость пересекает: а) только одно боковое ребро призмы; б) два ее боковых ребра.
88. Ребро куба равно a. Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через сторону основания, если угол между этой плоскостью и плоскостью основания равен: а) 30°; б) j.
89. Через середины двух смежных сторон основания правильной четырехугольной призмы проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол j и пересекающая три боковых ребра призмы. Найдите сторону основания, если площадь сечения равна Q.
90. Докажите, что диагональные сечения AA1C1C и BB1D1D куба A...D1 перпендикулярны.
91. Докажите, что через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная данной плоскости. Сколько таких плоскостей?
92. Докажите, что если прямая лежит в одной из двух перпендикулярных плоскостей и перпендикулярна линии их пересечения, то она будет перпендикулярна и другой плоскости.
93. Докажите, что если две плоскости перпендикулярны и из точки одной из них проведен перпендикуляр к другой плоскости, то этот перпендикуляр целиком лежит в первой плоскости.
94. Докажите, что если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то линия пересечения первых двух плоскостей будет перпендикулярна третьей плоскости.
95. Равнобедренный прямоугольный треугольник ABC (
C = 90°) перегнули по высоте CD таким образом, что плоскости ACD и BCD образовали прямой угол. Найдите углы ADB и ACB.
96. Существует ли треугольная пирамида, у которой три грани попарно перпендикулярны?
97. Существует ли четырехугольная пирамида, у которой две противоположные боковые грани перпендикулярны основанию?
98. Существует ли пирамида, у которой три боковые грани перпендикулярны основанию?
99. Могут ли боковыми гранями наклонной призмы быть: а) 2 прямоугольника; б) 3 прямоугольника; в) 4 прямоугольника?
100. В треугольной пирамиде ABCD проведите сечение, проходящее через точки M, N и K, принадлежащие соответственно граням ADB, BDC и ABC.
4. Многогранники
1. Может ли в пирамиде быть 21 ребро?
2. Может ли в призме быть 16 ребер?
3. Может ли многогранник иметь 7 ребер?
4. Докажите, что у любого многогранника число граней с нечетным числом ребер четно.
5. Докажите, что у любого многогранника число вершин, в которых сходится нечетное число ребер, четно.
6. Докажите, что у любого многогранника имеется, по крайней мере, две грани с одинаковым числом ребер. Приведите пример многогранника, у которого нет трех граней с одинаковым числом ребер.
7. Докажите, что у любого многогранника имеется, по крайней мере, две вершины, в которых сходится одинаковое число ребер. Приведите пример многогранника, у которого нет трех вершин, в которых сходится одинаковое число ребер.
8. Докажите, что для числа вершин В, числа ребер Р и числа граней Г многогранника выполняются неравенства: 2Р 
3В, 2Р 3Г.
9. Докажите, что для любого n > 5 и отличного от 7 существует многогранник с n ребрами.
10. Существует ли тетраэдр ABCD, для которого противоположные ребра равны соответственно: AB=CD=3; AC=BD=4; AD=BC=5.
11. Приведите пример невыпуклого многогранника, у которого все грани являются выпуклыми многоугольниками.
12. Существуют ли отличные от куба многогранники, все грани которых являются равными между собой квадратами?
13. Существует ли многогранник, все грани которого являются параллелограммами, но который не является призмой?
14. Существует ли четырехугольная пирамида, у которой две противоположные боковые грани перпендикулярны основанию?
15. Верно ли, что высоты тетраэдра пересекаются в одной точке?
16. Докажите, что отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с точками пересечения медиан противоположных граней, пересекаются в одной точке, называемой центроидом тетраэдра, которая делит эти отрезки в отношении 3:1, считая от вершин тетраэдра.
17. Докажите, что в кубе можно вырезать сквозное отверстие, через которое пройдет куб таких же размеров.
18. Докажите, что если все четыре грани тетраэдра имеют одинаковую площадь, то они равны между собой.
19. Докажите, что две плоскости, проходящие через концы обоих троек ребер куба, сходящихся в концах диагонали куба, рассекают эту диагональ на три равные части.
20. Нарисуйте многогранник, ограниченный плоскостями, проходящими через все 12 ребер куба и образующими углы 45° с гранями куба, сходящимися в этих ребрах. Во сколько раз объем этого многогранника больше объема куба?
21. Докажите, что в правильном тетраэдре сумма расстояний от любой его внутренней точки до всех его четырех граней имеет постоянную величину, а именно, равна его высоте.
22. Какое минимальное число красок потребуется для окраски граней куба, при которой соседние грани имели бы различные цвета?
23. Найдите самый короткий путь по поверхности куба A…D1 из вершины A в вершину C1.
24. Найдите расстояние между ребром куба и скрещивающейся с ним диагональю, если ребро куба равно a.
25. Ребро куба равно a. Найдите расстояние между скрещивающимися диагоналями смежных граней.
26. Разрежьте четыре равных куба на две части каждый и сложите из них многогранник, называемый усеченным октаэдром, поверхность которого состоит из шести квадратов и восьми правильных шестиугольников.
27. Разрежьте два равных куба на шесть частей каждый и сложите из них многогранник, называемый ромбододекаэдром, поверхность которого состоит из двенадцати ромбов.
28. Через вершины куба, перпендикулярно его диагоналям, проходящим через эти вершины, проведены плоскости. Сколько вершин имеет многогранник, ограниченный этими плоскостями?
29. Через ребра куба, перпендикулярно его диагональным сечениям, проходящим через эти ребра, проведены плоскости. Нарисуйте многогранник, ограниченный этими плоскостями.
30. Через ребра правильного тетраэдра проведены плоскости параллельные противоположным ребрам. Сколько ребер имеет многогранник, ограниченный этими плоскостями?
31. Докажите формулу Эйлера для выпуклого многогранника
В - Р + Г = 2,
где В - число вершин, Р - число ребер и Г - число граней данного многогранника.
32. Приведите пример многогранника, для которого не выполняется соотношение Эйлера.
33. Приведите пример невыпуклого многогранника, для которого выполняется соотношение Эйлера.
34. Гранями выпуклого многогранника являются только треугольники. Сколько у него вершин и граней, если он имеет: а) 12 ребер; б) 15 ребер?
35. Из каждой вершины выпуклого многогранника выходит три ребра. Сколько он имеет вершин и граней, если число ребер равно: а) 12; б) 15?
36. Гранями выпуклого многогранника являются только четырехугольники. Сколько у него вершин и граней, если число ребер равно 12? Нарисуйте такой многогранник.
37. В каждой вершине выпуклого многогранника сходится по четыре ребра. Сколько он имеет вершин и граней, если число ребер равно 12? Нарисуйте такой многогранник.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 |
