38. Докажите, что в любом выпуклом многограннике есть треугольная грань или в какой-нибудь его вершине сходятся три ребра.
39. Докажите, что в любом выпуклом многограннике найдется грань, у которой менее шести ребер.
40. Дан выпуклый многогранник, все грани которого имеют 5, 6 или 7 ребер, и в каждой вершине сходятся по три ребра. Докажите, что число пятиугольных граней на 12 больше числа семиугольных.
5. Круглые тела
1. Докажите, что около любой треугольной пирамиды можно описать сферу и притом только одну.
2. Может ли центр описанной около треугольной пирамиды сферы находиться вне этой пирамиды?
3. На рисунке 32 изображена пирамида ABCD, ребро DC перпендикулярно плоскости основания, угол ACB равен 90°. Укажите на рисунке точку O – центр сферы, описанной около пирамиды.
4. Приведите пример пирамиды, около которой нельзя описать сферу.
5. Каким свойством должен обладать многоугольник, лежащий в основании пирамиды, чтобы около нее можно было описать сферу?
6. При каком условии около прямой призмы можно описать сферу? Где будет располагаться центр описанной сферы?
7. Основанием прямой призмы служит треугольник со сторонами 6 см, 8 см и 10 см. Высота призмы 24 см. Найдите радиус описанной сферы.
8. Можно ли описать сферу около: а) наклонной призмы; б) наклонного параллелепипеда?
9. Чему равно наибольшее число точек, которые можно разместить на сфере так, чтобы расстояние между любыми двумя точками были равны?
10. Докажите, что в любую треугольную пирамиду можно вписать сферу.
11. Можно ли вписать сферу в прямоугольный параллелепипед?
12. При каком условии в прямую призму можно вписать сферу?
13. Приведите пример пирамиды, в которую нельзя вписать сферу.
14. Сфера касается всех ребер пирамиды ABCD. Докажите, что AB + CD = AC + BD = AD + BC.
15. Найдите радиус r шара, вписанного в октаэдр с ребром a.
16. Найдите радиусы r, R шаров, вписанного и описанного около додекаэдра с ребром a.
17. Найдите радиусы r, R шаров, вписанного и описанного около икосаэдра с ребром a.
18. При каком условии в цилиндр можно вписать шар?
19. Найдите условия, при которых шар можно вписать в усеченный конус.
20. Докажите, что если около каждой грани многогранника можно описать окружность, и в каждой вершине этого многогранника сходятся три ребра, то около данного многогранника можно описать сферу. Приведите пример многогранника, около каждой грани которого можно описать окружность, а около самого многогранника нельзя описать сферу.
6. Объем и площадь поверхности
1. Докажите, что площадь любой грани произвольного тетраэдра меньше суммы площадей остальных трех граней.
2. Докажите, что для прямоугольного тетраэдре ABCD (плоские углы при вершине D равны 90°) сумма квадратов площадей боковых граней равна квадрату площади основания.
3. Плоскость пересекает ребра SA, SB, SC треугольной пирамиды SABC в точках A’, B’, C’ соответственно. Найдите объем пирамиды SA’B’C’, если объем исходной пирамиды равен V и SA’:SA =1:2, SB’:SB = 2:3, SC’:SC = 3:4.
4. По двум скрещивающимся прямым скользят два отрезка АВ и CD постоянной длины. Докажите, что объем пирамиды АВCD при этом не меняется.
5. Два правильных тетраэдра с ребрами a имеют общую высоту. Один из них повернут на 60° по отношению к другому. Найдите объем их общей части.
6. Два правильных тетраэдра с ребрами a имеют общую высоту. Вершина одного из них лежит в центре основания другого и наоборот. Стороны оснований тетраэдров попарно параллельны. Найдите объем общей части этих тетраэдров.
7. Два правильных тетраэдра с ребрами a имеют общую высоту. Вершина одного из них лежит в центре основания другого и наоборот. Основание одного из тетраэдров повернуто на 60° по отношению к основанию другого. Найдите объем общей части этих тетраэдров.
8. Два правильных тетраэдра с ребрами a имеют общий отрезок, соединяющий середины двух противоположных ребер. Один тетраэдр повернут на 90° по отношению к другому. Найдите объем их общей части.
9. Докажите, что любая плоскость, проходящая через точку пересечения диагоналей произвольного параллелепипеда, делит его на две части равного объема.
10. Даны три параллелепипеда. Проведите плоскость так, чтобы она разделила каждый параллелепипед на две части равного объема.
11. Два куба с ребром a имеют общую диагональ, но один повернут вокруг этой диагонали на угол 60° по отношению к другому. Найдите объем их общей части.
12. Найдите объем октаэдра с ребром a.
13. Найдите объем додекаэдра с ребром a.
14. Найдите объем икосаэдра с ребром a.
15. Докажите, что сумма расстояний от точки, лежащей внутри правильного многогранника, до плоскостей всех его граней, не зависит от выбора этой точки.
16. Докажите формулу Симпсона для вычисления объема призматоида:
V = 
H(S1+S2+4S0),
где H – высота призматоида, S1, S2 – площади его оснований, S0 – площадь среднего сечения. (Призматоидом называется многогранник, все вершины которого расположены в двух параллельных плоскостях. Многоугольники, расположенные в этих плоскостях, называются основаниями призматоида, а расстояние между этими плоскостями – его высотой)
17. Цилиндр пересечен двумя наклонными плоскостями, не пересекающими его оснований и так, что внутри цилиндра эти плоскости не пересекаются. Зная, что радиус цилиндра равен r и расстояние между точками пересечения секущих плоскостей с осью цилиндра равно d, найдите объем части цилиндра, заключенной между секущими плоскостями.
18. Квадрат со стороной a вращается вокруг оси, проходящей через вершину и середину стороны, не проходящей через эту вершину. Найдите объем тела вращения.
19. Докажите, что объемы конусов, получаемых от вращения треугольника вокруг его сторон, обратно пропорциональны этим сторонам.
20. Шар касается всех двенадцати ребер куба. Найдите объем части шара, заключенной внутри этого куба, если ребро куба равно a.
21. Найдите объем тора – фигуры, полученной вращением круга радиуса r вокруг оси, отстоящей от центра круга на расстояние h (h > r).
22. Прямая a вращается вокруг прямой c, скрещивающейся с a. Используя принцип Кавальери, найдите объем тела, ограниченного соответствующей поверхностью вращения и двумя плоскостями, перпендикулярными оси c. Угол между прямыми a и c равен j; длина их общего перпендикуляра – d; расстояния от секущих плоскостей до общего перпендикуляра прямых a и c равны c’ и c” соответственно (рис. 34). (Используйте результат задачи 30.17).
23. В сферу радиуса R вписан правильный тетраэдр, и три его грани, исходящие из одной вершины, продолжены до пересечения со сферой. Вычислите площадь части поверхности сферы, заключенной внутри образовавшегося трехгранного угла.
24. Сфера радиуса R проходит через центр заданной сферы радиуса r. Докажите, что площадь шапочки, вырезанной из заданной сферы сферой радиуса R, не зависит от R.
25. В пирамиду ABCD с высотами h1, h2, h3, h4 вписан шар радиуса R. Докажите, что имеет место равенство
Перечень вопросов к экзамену
1. Основные понятия стереометрии.
2. Аксиомы стереометрии.
3. Следствия из аксиом стереометрии.
4. Пространственные фигуры.
5. Параллельность прямых в пространстве.
6. Скрещивающиеся прямые.
7. Параллельность прямой и плоскости.
8. Параллельность двух плоскостей.
9. Параллельное проектирование.
10. Изображение пространственных фигур.
11. Угол между прямыми в пространстве.
12. Перпендикулярность прямых.
13. Перпендикулярность прямой и плоскости.
14. Угол между прямой и плоскостью.
15. Расстояния между точками в пространстве.
16. Расстояние между прямыми и плоскостями.
17. Двугранный угол.
18. Перпендикулярность плоскостей.
19. Многогранные углы.
20. Понятие многогранника. Примеры многогранников.
21. Выпуклые и невыпуклые многогранники.
22. Свойства выпуклых многогранников.
23. Теорема Эйлера о числе вершин, ребер и граней выпуклого многогранника.
24. Правильные многогранники.
25. Полуправильные многогранники.
26. Звездчатые многогранники.
27. Сфера и шар. Взаимное расположение сферы и плоскости.
28. Многогранники, вписанные в сферу.
29. Многогранники, описанные около сферы.
30. Цилиндр. Конус. Вписанные и описанные цилиндры. Вписанные и описанные конусы.
31. Сечения цилиндра плоскостью. Конические сечения.
32. Площадь поверхности. Нахождение площадей поверхностей многогранников.
33. Нахождение площади поверхности цилиндра и конуса. Площадь поверхности шара и его частей.
34. Объем фигур в пространстве. Объем цилиндра.
35. Принцип Кавальери. Объем пирамиды. Объем конуса.
36. Объем шара и его частей.
Перечень вопросов к зачету.
1. Основные понятия стереометрии.
2. Аксиомы стереометрии.
3. Следствия из аксиом стереометрии.
4. Изображение пространственных фигур.
5. Признак параллельность прямых в пространстве.
6. Признак скрещивающихся прямых.
7. Признак параллельности прямой и плоскости.
8. Признак параллельности двух плоскостей.
9. Свойства параллельного проектирования.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 |
