Курс по выбору по геометрии для предпропрофильной подготовки в 9 классе «Новые встречи с окружностью» (стр. 2 )

Занятие 6. «Углы любят счет».

«…Что числа дают опьянение такое же, как вино или звезды, они не знали…»

(Владимир Казаков)

Урок развития общеучебных умений. Метод подсчета углов часто помогает решать задачи на окружности. В том случае, когда ни один угол неизвестен, то какой-либо угол обозначается параметром, затем через него выражаются другие углы. Обычно выбор самих исходных углов составляет одну из важнейших частей решения. Научиться правильно вводить исходные углы – это один из определяющих моментов математической культуры на олимпиадном уровне. На занятии использовать задачи по готовым чертежам. Решить задачи № 23, 24, 25.

Занятие 7. Метод непосредственных вычислений.

«Простота – одно из главных качеств красоты».

(Д. Дидро)

Как правило, этот метод используется при решении самых простых задач, условие которых позволяет непосредственными вычислениями и преобразованиями получить результат. Задачи № 26, 27, 28.

Занятие 8. Метод опорного элемента или метод площадей.

«Воображение творит красоту».

(Б. Паскаль)

Метод заключается в следующем: один и тот же элемент (сторона, угол, площадь, радиус и т. д.) выражается через известные и неизвестные величины двумя разными способами и полученные выражения приравниваются. Очень часто в качестве опорного элемента выбирается площадь фигуры. Тогда говорят, что для составления уравнения используется метод площадей. Задачи № 21, 29, 30.

Занятия 9, 10. Дополнительные построения и метод введения вспомогательной величины.

«Воображение более важно, чем знание».

(А. Эйнштейн)

При решении геометрических задач часто приходится делать дополнительные построения, например, проведение прямой, параллельной или перпендикулярной одной из имеющихся на рисунке, удвоение медианы, проведение вспомогательной биссектрисы. Если речь в задаче идет об окружности, вписанной в треугольник или четырехугольник, то практически всегда целесообразно провести радиусы в точки касания окружности со сторонами. Помогает при решении задач и построение окружности вокруг четырехугольника.

В ряде задач может не хватать величин для записи условий. Тогда эти величины необходимо ввести и записать условия задачи. Сами величины найти из условия задачи невозможно, тем не менее, они позволяют найти решение и получить ответ.

Задачи №№ 3, 4, 5, 6. Задачи однотипные, поэтому №3 следует рассмотреть вместе с учителем, остальные – решить самостоятельно с последующим разбором. Затем № 31, 33. Задачи №№ 1, 2 – на дом.

Занятие 11. Окружность, круг, сфера, шар.

«Круг – первая, наиболее простая и наиболее

совершенная геометрическая фигура».

(Прокл. Комментарий к «Началам» Евклида)

Рассмотреть аналогию плоских фигур в пространстве. Изображение пространственных тел на плоскости. Использовать компьютерную обучающую программу «Математика 5-11» издательства «Дрофа». Ввести понятие фигуры, вписанной в другую. Рассмотреть задачу № 32.

Занятие 12. Вдохновение в геометрии так же необходимо, как и в поэзии

«Решая задачу, мы в первую очередь должны заботиться о том, чтобы решение было правильным, особо не заботясь о красоте. Если решение получилось красивым – это подарок за все наши предшествующие труды».

(И. Акулич)

Урок проводится в виде выставки. Учащиеся предлагают вниманию найденные ими или понравившиеся на занятиях задачи, самые красивые, на их взгляд. К занятию готовятся презентации, готовая наглядность. Затем им предлагаются фишки разных цветов, с помощью которых они «голосуют» за понравившуюся задачу.

Занятия 13, 14. Геометрические миниатюры

Заключительные занятия.

«В математике есть нечто, вызывающее человеческий восторг».

(Ф. Хаусдорф)

Урок-конференция: слушание и обсуждение выступлений, подготовленных группами учащихся. Проводится открытое двухчасовое занятие, на которое приглашаются учащиеся, учителя. Творческие группы представляют свои творческие исследования по заданным темам. Подводятся итоги. Делается обобщение, выводы. Награждения по номинациям.

Информационное обеспечение.

1.  , Елизарова встречи с окружностью - Сыктывкар: КГПИ, 2003.

2.  , , Понарядова . Избранные разделы стереометрии – Сыктывкар: РОЗЛИ при КГПИ, 2003

3.  и др. Элегантная математика - М.: Ком Книга, 2005

4.  ., . Новые встречи с геометрией – Москва: «Наука». Главная редакция. Физ-мат. Литература, 1978

5.  . Задачи по планиметрии. Части 1 и 2. – Москва: Наука. Главная редакция. Физ-мат. Литература, 1991

6.  Рурукин для интенсивной подготовки к экзамену по математике – Москва: ВАКО, 2006

7.  Скопец миниатюры. – М.: Просвещение, 1990.

8.  Шарыгин . 9-11 классы – Москва: Дрофа, 1996

9.  Шарыгин . 7-9 классы. Учебник для общеобразовательных учебных заведений - Москва: Дрофа, 2001

Приложение№ 1.

Задачи

№	Задача	Указание	Откуда Взята задача
1.	Найти площадь равнобедренного треугольника, если угол при вершине 150, а радиус описанной окружности равен + 1.	Теорема синусов, найти боковую сторону, затем площадь	2 Стр. 161
2.	Вывести формулы площади треугольника через радиусы вписанной и описанной окружностей		2 Стр. 165
3.	Около окружности описана равнобочная трапеция, одно из оснований которой равно a, а боковая сторона равна l. Найдите площадь трапеции.		3 Стр.344 №3
4.	В равнобочной трапеции, описанной около окружности, отношение параллельных сторон равно k. Найдите косинус острого угла при основании трапеции.		3 Стр.344 №5
5.	Площадь равнобочной трапеции, описанной около круга, равна S, а ее высота в 2 раза меньше боковой стороны. Найдите радиус вписанного в эту трапецию круга.		3 Стр.344 № 7
6.	К окружности радиуса 5 см из точки А проведена касательная в точке В. Расстояние АВ= 12 см. Найти расстояние от точки А до центра окружности.	Теорема о касательной и секущей	2 Стр. 167
7.	В треугольнике из одной вершины проведены высота и медиана, которые делят угол на 3 равные части. Определить углы треугольника.	Высота является и биссектрисой одного из полученных треугольников. Применить основное свойство биссектрисы.	1 Стр. 6
8.	Докажите, что биссектриса, проведенная из вершины прямого угла, делит угол между высотой и медианой, проведенными из той же вершины, пополам.	Метод подсчета углов и введение вспомогательной величины.	1 Стр. 7
9.	В треугольнике из одной вершины проведены высота, биссектриса и медиана, которые делят угол на четыре равные части. Определить углы треугольника.	Биссектриса и серединный перпендикуляр пересекутся в точке на окружности.	1 Стр. 7
10.	Докажите, что биссектриса, проведенная из вершины неравнобедренного треугольника, лежит между высотой и медианой, проведенными из той же вершины.		1 Стр. 7
11.	Высоты остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Н. Известно, что АВ=CH. Найдите угол АСВ.	Провести ВЕ= CH и перпендикулярный АВ. Около АВЕС можно описать окружность.	1 Стр. 11
12.	В треугольнике АВС проведена биссектриса СD. Известно, что центр окружности, вписанной в треугольник ВСD, совпадает с центром окружности, описанной около треугольника. Найдите углы треугольника АВС.	Обозначить один из углов при вершине В α, затем применить метод подсчета углов	1 Стр. 11
13.	Доказать, что внутри остроугольного треугольника всегда существует точка М, из которой каждая сторона видна под углом 120	Построении на стороне угла внешним образом праильного треугольника	1 Стр. 13
14.	Найти точку внутри остроугольного треугольника, сумма расстояний от которой до вершин имеет наименьшее значение.	Поворот треугольника вокруг вершины на 60. Метод спрямления.	1 Стр. 14
15.	Дана окружность и точка вне ее. Найдите геометрическое место середин хорд окружности, которые лежат на прямых, содержащих данную точку.		1 Стр.9
16.	Построить треугольник, если даны: а) точка пересечения биссектрис (медиан) и две вершины; б) точка пересечения биссектрис (медиан), одна из вершин и середина стороны, которой принадлежит данная вершина; в) точка пересечения медиан и середины двух сторон.		5 №1
17.	Докажите, что высоты треугольника являются биссектрисами высотного треугольника (образованного основаниями высот).
18.	Построить остроугольный треугольник, если даны: а) точка пересечения высот, вершина при основании и середина основания; б) основания его высот.	Б) Использовать задачу № 17	5 № 4
19.	Доказать, что если из точек А и D, лежащих в одной полуплоскости от прямой ВС, отрезок ВС виден под одним и тем же углом α, то около четырехугольника АВСD можно описать окружность.		1 Стр.9
20.	Около трапеции АВСD (ВС║ АD) описана окружность, и в ту же трапецию вписана другая окружность, ВС:АD= =1:5, площадь трапеции равна 3√5/5. Найти высоту трапеции.		1 Стр.9
21.	В треугольник АВС, у которого АВ=5, АС=3, ВС=7, вписана окружность, М – точка касания этой окружности со стороной АВ. Найдите АМ.		1 Стр.10
22.	Высоты остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Н. Известно, что АВ=CH. Найдите угол АСВ.	Провести ВЕ= CH и перпендикулярный АВ. Около АВЕС можно описать окружность.	1 Стр. 11
23.	В треугольнике АВС проведена биссектриса СD. Известно, что центр окружности, вписанной в треугольник ВСD, совпадает с центром окружности, описанной около треугольника. Найдите углы треугольника АВС.	Обозначить один из углов при вершине В α, затем применить метод подсчета углов	1 Стр. 11
24.	В треугольнике АВС угол А равен α, а угол В равен 2 α. Окружность с центром в точке С радиусом СА пересекает прямую, содержащую биссектрису внешнего угла при вершине В в точках М и N. Найдите углы треугольника МАN.
25.	В прямоугольном треугольнике АВС один из острых углов равен 30, М – середина гипотенузы АВ, о – центр вписанной окружности. Чему равен угол ОМС?	Подсчет углов	3 Стр. 348 №49
26.	Углы треугольника α и β. Найти отношение его площади к площади описанного круга.		2 Стр. 170170
27.	Площадь кругового кольца равна S. Радиус большей окружности равен длине меньшей. Найдите радиус меньшей окружности.		3 Стр. 345 №15
28.	Медиана треугольника делит его на два треугольника. Может радиус окружности, вписанной в один из образовавшихся треугольников, быть ровно в два раза больше радиуса окружности, вписанной в другой треугольник?	Применить формулу S=p∙r, затем неравенство треугольника	3 Стр. 348 № 52
29.	В треугольник вписана окружность с радиусом 4. Одна из сторон треугольника разделена точкой касания на отрезки, длины которых 6 и 8. Найти длины сторон треугольника.	Для площади треугольника использовать формулу Герона и формулу S=p∙r.	2 Стр.177 № 3
30.	Стороны треугольника равны 4 см, 6 см и 8 см. Найти длины отрезков, на которые делятся стороны точками касания вписанной окружности.	Учесть, что отрезки от вершины треугольника до точек касания равны.	2 Стр.177 № 7
31.	В прямоугольном треугольнике катеты равны. Найти отношение радиусов описанной и вписанной окружностей.	Ввести вспомогательную величину а, которая равна длине катета. Применить формулы площади треугольника через радиус описанной окружности и вписанной окружности, выразить радиусы и рассмотреть их отношение.	2 Стр. 172 № 27
32.	Основанием пирамиды служит квадрат со стороной а, два двугранных угла при основании прямые, два других равны φ. Найти радиус сферы, вписанной в пирамиду.	Рассмотреть плоскость, на которую спроектируется сфера.
33.	На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС во вне построен квадрат, центр его обозначен О. Докажите, что СО – биссектриса угла АСВ. В каком отношении СО делит гипотенузу.	Покажите, что вокруг АСВО можно описать окружность. Углы АСО и ВСО – вписанные углы, опирающиеся на равные дуги.	1 Стр. 16
33.	В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности в 2,5 раза больше радиуса вписанной окружности. Найти площадь треугольника, если его наименьшая сторона равна 1.

Приложение .