Курс по выбору по геометрии для предпропрофильной подготовки в 9 классе «Новые встречи с окружностью» (стр. 4 )

59. Из медиан любого треугольника можно составить треуголь­ник (построить треугольник, стороны которого равны медианам данного).

60. Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника равна 360°.

61. Радиус вписанной в треугольник окружности меньше поло­вины любой высоты.

62. Существует треугольник, у которого две высоты находятся внутри треугольника, а одна — снаружи.

63. Пусть О — центр вписанной в треугольник АВС окружности. Известно, что . В этом треугольнике радиус описанной окружности равен медиане к стороне АС.

64. Если центр описанной около треугольника окружности ле­жит на его медиане, то этот треугольник равнобедренный.

65. Если четырехугольник является одновременно и вписан­ным, и описанным, причем центры вписанной и описанной окруж­ностей совпадают, то этот четырехугольник является правильным.

66. Рассмотрим всевозможные выпуклые четырехугольники с соответственно равными сторонами. Если в один из них можно вписать окружность, то и в каждый четырехугольник также можно вписать окружность.

67. Центр окружности, описанной около треугольника со сто­ронами 5, 6 и 8, расположен внутри треугольника.

68. При изменении угла от 0° до 180° его косинус возрастает.

69. В любом треугольнике квадрат биссектрисы меньше произ­ведения сторон, ее заключающих.

70. Если радиус описанной около треугольника окружности ра­вен половине одной из его сторон, то этот треугольник – прямо­угольный.

71. Если радиус описанной около треугольника окружности ра­вен какой-то медиане треугольника, то этот треугольник – прямо­угольный.

72. В любом треугольнике с неравными сторонами высота про­ходит между биссектрисой и медианой, выходящими из той же вер­шины.

73. В любом треугольнике высота меньше медианы, выходящей из той же вершины.

74. Скалярное произведение двух векторов всегда меньше про­изведения их длин.

75. Треугольник, у которого радиус вписанной окружности ра­вен 1, а периметр равен 6, невозможен.

76. Существует треугольник, у которого сумма двух сторон рав­на 2, а медиана к третьей стороне равна 1.

77. Справедливо равенство cos2 45° = cos60°.

78. Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции и середину одной из его сторон, проходит и через точку, в которой пересекаются продолжения непараллельных сторон трапе­ции.

79. Диагонали четырехугольника, у которого две противопо­ложные стороны равны 8 и 1, а две другие 7 и 4, перпендикулярны.

80. Пусть две окружности пересекаются в точках А и В, М – не­которая точка, расположенная на прямой АВ вне отрезка АВ. Тогда касательные к данным окружностям, проведенные из точки М, равны.

81. Проведем через данную точку А произвольную прямую, пе­ресекающую данную окружность в точках В и С. Произведение АВ • АС постоянно и не зависит от прямой.

82. Площадь треугольника может быть вычислена по формуле S=R2sinAsinВsinС, где R – радиус описанной окружности, А, В и С – углы треугольника.

83. Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то один из векторов равен нулю.

84. На плоскости отмечены четыре точки, никакие три из кото­рых не лежат на одной прямой. Существует единственный четырех­угольник, вершинами которого являются эти точки.

85. Пусть и - два вектора плоскости. Тогда для любого век­тора существует пара чисел х и у такая, что .

86. Площадь круга больше полусуммы вписанного и описан­ного квадрата.

87. Если все углы вписанного многоугольника равны между со­бой, то этот многоугольник является правильным.

88. Если угол одного треугольника равен углу другого, а две сто­роны первого пропорциональны соответствующей паре сторон вто­рого, то эти треугольники подобны.

89. Если все стороны описанного многоугольника равны между собой, то этот многоугольник является правильным.

90. Отношение длины окружности к ее диаметру больше, чем 3,14.

91. Геометрическим местом точек М плоскости, для которых треугольник АВМ является равнобедренным, где А и В — две фикси­рованные точки плоскости, есть серединный перпендикуляр к от­резку АВ.

92. Угол, вершина которого совпадает с центром вписанной в треугольник окружности, а каждая из сторон проходит через вер­шину этого треугольника, обязательно является тупым.

93. При любых а, b и с уравнение задает на координатной плоскости окружность или точку.

94. Уравнения y=kx+b u x+ky=d при любых k, b и d задают на координатной плоскости пару перпендикулярных прямых.

95. Если высота треугольника равна 6 и делит сторону, на кото­рую она опущена, на отрезки длиной 4 и 9, то этот треугольник яв­ляется прямоугольным.

96. Если для треугольника выполняется неравенство, где p, a и r – соответственно полупериметр, одна из сторон и радиус вписанной окружности, то этот треугольник – тупоугольный.

97. Треугольник, у которого две стороны равны 1 и 2, а угол между ними 59°, является тупоугольным.

98. Существуют два различных треугольника, в каждом из кото­рых две стороны равны 10см и 7см, а угол, противолежащий мень­шей из этих сторон, равен 45°.

99. Если радиус описанной около треугольника окружности в два раза больше радиуса вписанной в него окружности, то этот тре­угольник правильный.

100. Нельзя расположить на плоскости три непересекающиеся окружности так, чтобы нашлось не менее семи различных окруж­ностей, касающихся этих трех.

Ответы

1 нет	16 да	31 нет	46 нет	61 да	76 нет	91 нет
2 нет	17 да	32 да	47 нет	62 нет	77 да	92 да
3 да	18 да	33 да	48 да	63 да	78 да	93 нет
4 да	19 да	34 да	49 да	64 нет	79 да	94 да
5 нет	20 да	35 нет	50 да	65 да	80 да	95 да
6 да	21 нет	36 нет	51 нет	66 да	81 да	96 да
7 да	22 нет	37 да	52 нет	67 нет	82 нет	97 да
8 нет	23 да	38 нет	53 нет	68 нет	83 нет	98 нет
9 да	24 нет	39 нет	54 нет	69 да	84 нет	99 да
10 да	25 нет	40 да	55 да	70 да	85 нет	100 нет
11 нет	26 да	41 да	56 нет	71 нет	86 да
12 да	27 да	42 нет	57 нет	72 нет	87 нет
13 да	28 да	43 да	58 да	73 нет	88 нет
14 да	29 нет	44 нет	59 да	74 нет	89 нет
15 нет	30 нет	45 нет	60 да	75 да	90 да

Приложение

Вопросы к рефлексии на уроках

-Что нового вы сегодня узнали?

- В чем возникали затруднения?

- Что помогло их разрешить?

- Достигли ли мы поставленной цели?

- Кто сегодня хорошо поработал? Кого мы можем отметить?

- Как каждый из вас оценивает свою работу?

- Какова цель нашей дальнейшей деятельности?

Приложение .

Номинации к итоговому занятию

·  за самую красивую задачу;

·  за самый лучший чертеж;

·  за самое изящное решение;

·  за самый интересный исторический факт;

·  за волю к победе;

·  самому активному;

·  самому инициативному;

·  за лучший проект;

·  за оформление проекта;

·  самому остроумному;

·  за самые аккуратные записи.