Курс по выбору по геометрии для предпропрофильной подготовки в 9 классе «Новые встречи с окружностью» (стр. 3 )

Темы исследовательских работ учащихся

1. Точки Брокара в разных треугольниках.

2. Точка Торричелли в разных треугольниках

3. Окружность девяти точек.

Приложение

Контрольные вопросы

1. Верно ли, что если хорда делится пополам радиусом, то она параллельна касательной, проведенной через конец радиуса?

2. Верно ли, что угол между касательной и хордой измеряется половиной дуги, заключенной между касательной и хордой?

3. Для каких треугольников существуют вписанная и описанная окружности?

4. Какой может быть трапеция, вписанная в окружность?

5. Параллелограмм ABCD описан около окружности. Верно ли, что ABCD - квадрат?

6. Докажите, что дуги окружности, заключенные между двумя параллельными хордами, равны.

7. Может ли площадь треугольника, все высоты которого меньше 1 см, быть больше 1 кв. км?

8. Можно ли вокруг параллелограмма описать окружность?

9. Может ли радиус окружности, описанной около треугольника, все стороны которого меньше 1 см, быть больше 100 см?

10. Существует ли вписанный четырехугольник, имеющий один тупой угол и три острых? Сколько прямых углов может иметь вписанный четырехугольник?

11. На плоскости заданы точки А, В, С так, что АВ=АС. Всегда ли существует окружность, касающаяся прямых АВ и АС в точках В и С соответственно?

12. Из точки А провели касательную к окружности с центром О. Может ли точка касания, точка А и точка О образовывать треугольник со сторонами 7, 9, 15?

13. Петя утверждает, что множество точек на плоскости, равноудаленных от данной прямой и данной точки – это окружность. Прав ли он?

14. Верно ли, что около любого правильного многоугольника можно описать окружность и притом только одну?

Приложение

Проверь свои знания по геометрии

Каждое из ста приведенных ниже утверждений либо верно, ли­бо неверно. В соответствующей клетке заранее подготовленной таб­лицы нужно написать «да», если вы считаете утверждение верным, и «нет», если неверным; если нет уверенности в ответе — сделайте прочерк.

Сверьте свои ответы с приведенными в конце. За каждый пра­вильный ответ вы получаете 1 очко, в случае неверного ответа нужно вычесть из набранной суммы 2 очка, за сделанный прочерк – 0 очков. Если набрано больше 85 очков — вы очень хорошо знаете предмет (оценка 5); 71 – 85 очков — знания можно оценить как хо­рошие (оценка 4); 46 – 71 очко — знания удовлетворительные (оценка 3).

На всю работу отводится три часа. Можно сделать несколько перерывов по 5—10 минут. (Время перерывов не учитывается и в сумме не должно превышать одного часа.)

1. Через любую точку плоскости можно провести прямую, па­раллельную данной прямой этой плоскости.

2. Если фигура имеет более одной оси симметрии, то она имеет центр симметрии.

3. Через любую точку плоскости можно провести прямую, пер­пендикулярную данной прямой плоскости.

4. Не существует многоугольника, имеющего ровно 15 диагона­лей.

5. Пусть А, В и С такие три точки плоскости, что имеет место ра­венство . Тогда выполняется и равенство ВА = ВС.

6. Серединный перпендикуляр к основанию равнобедренного треугольника проходит через вершину этого треугольника.

7. Если в треугольниках АВС и А1В1С1 имеют место равенства АВ =А1В1, , то эти треуголь­ники равны.

8. Для любого треугольника АВС существует, и притом един­ственная, окружность, касающаяся прямых АВ, ВС и СА.

9. Если треугольник можно разрезать на два равных треуголь­ника, то этот треугольник равнобедренный.

10. Не су шествует треугольника со сторонами , 6.

11. В треугольнике, два угла которого равны и , наиболь­шей является сторона, соединяющая вершины этих углов.

12. Если биссектриса внешнего угла треугольника параллельна противоположной стороне треугольника, то этот треугольник явля­ется равнобедренным.

13. Если для четырехугольника ABCD имеет место равенство АВ+CD = ВС+AD, то существует окружность, касающаяся пря­мых АВ, ВС, CD и DA.

14. Не существует треугольника, две биссектрисы которого пер­пендикулярны.

15. Не существует треугольника, две высоты которого перпен­дикулярны.

16. Если радиус окружности, описанной около треугольника, равен стороне треугольника, то угол, противолежащий этой сторо­не, равен 30°.

17. Треугольник, в котором одна из сторон равна опущенной на эту сторону высоте, а противолежащий угол меньше 45°, является тупоугольным.

18. В тупоугольном треугольнике квадрат наибольшей стороны меньше суммы квадратов двух других сторон.

19. В произвольном треугольнике наименьшей является медиа­на, проведенная к наибольшей стороне.

20. В любой четырехугольник со сторонами 8, 9, 10 и 12 нельзя вписать окружность.

21. Трапецией называется четырехугольник, у которого две ка­кие-то противоположные стороны параллельны.

22. Существует четырехугольник, площадь которого больше половины произведения его диагоналей.

23. Четырехугольник, все углы которого прямые, — параллело­грамм.

24. Если у четырехугольника суммы противоположных углов равны, то в этот четырехугольник можно вписать окружность.

25. Если у четырехугольника равны диагонали, то этот четырех­угольник является прямоугольником.

26. Если каждая из диагоналей четырехугольника делит попо­лам два его угла, то этот четырехугольник является ромбом.

27. Если диагонали четырехугольника делят его на четыре рав­новеликих треугольника, то этот четырехугольник является парал­лелограммом.

28. Если диагонали четырехугольника делят его на четыре тре­угольника таким образом, что два противоположных треугольника равновелики, а два других — нет, то этот четырехугольник является трапецией.

29. Имеется последовательность многоугольников, вписанных в одну и ту же окружность. Известно, что длина наибольшей сторо­ны этих многоугольников стремится к нулю. Тогда периметр этих многоугольников стремится к длине окружности.

30. Если внутри некоторого многоугольника расположен дру­гой многоугольник, то периметр второго (расположенного внутри) многоугольника меньше периметра первого.

31. Среди всех окружностей, содержащих данный треугольник (вершины могут располагаться на окружности), наименьший ради­ус имеет описанная окружность.

32. Середины сторон произвольного четырехугольника явля­ются вершинами параллелограмма.

33. Существует треугольник, высоты которого меньше 1см, а площадь больше 1м2.

34. Для любого треугольника АВС имеет место равенство АВ • А1С = АС • А1В, где А1 — точка, в которой биссектриса угла ВАС пересекает ВС.

35. Нельзя расположить на плоскости пять различных попарно касающихся окружностей.

36. Центр описанной около треугольника окружности всегда расположен внутри треугольника.

37. Центр вписанной в треугольник окружности всегда распо­ложен внутри треугольника.

38. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пе­ресекаются в центре вписанной в этот треугольник окружности.

39. Если уменьшить все стороны треугольника, то уменьшится и его площадь.

40. Прямые, проходящие через вершины треугольника и деля­щие пополам его площадь, пересекаются в одной точке.

41. Если в треугольнике совпадают центры вписанной и опи­санной окружностей, то этот треугольник является правильным.

42. Для любого угла α имеет место равенство tg α• ctg α = 1.

43. Геометрическим местом проекций точки А на всевозмож­ные прямые, проходящие через точку В, есть окружность с диамет­ром АВ. (А и В — фиксированные точки плоскости, рассматривают­ся прямые, принадлежащие этой плоскости.)

44. Расстояние между центрами двух лежащих в одной плоско­сти и касающихся окружностей равно сумме их радиусов.

45. Средней линией треугольника называется прямая, парал­лельная одной из сторон треугольника и проходящая через середи­ны двух его других сторон.

46. Синус тупого угла отрицателен.

47. Прямые, задаваемые уравнениями и , параллельны.

48. Если отношение любых двух сторон одного треугольника равно отношению двух соответствующих сторон другого треуголь­ника, то такие треугольники являются подобными.

49. Расстояние между точками А(-1; 2) и В(2; -2) равно 5.

50. Если две стороны треугольника равны, а один из углов равен 60°, то этот треугольник – правильный.

51. Треугольник со сторонами 9, 40 и 41 является остроуголь­ным.

52. При любом а уравнение задает окружность.

53. Скалярное произведение двух векторов всегда положи­тельно.

54. Существует единственный треугольник, у которого две сто­роны равны 7 и 8, а угол, противолежащий наименьшей из них, ра­вен 60°.

55. Площадь треугольника с периметром 6 см не может быть больше 2 см2.

56. Угол в три радиана больше, чем угол в 172°.

57. Из высот любого треугольника можно составить треуголь­ник (стороны нового треугольника равны высотам исходного).

58. Не существует треугольника, у которого одна сторона рав­на 1, высота, опущенная на эту сторону, равна 10, а угол, противо­лежащий данной стороне, равен 30°.