Математика и информатика (стр. 2 )

Рассмотрим векторы в пространстве декартовой системы координат (рис. 1.5). Выберем на осях координат единичные векторы – орты. Тогда каждый вектор определяется в этой системе через их проекции на оси OX, OY, OZ.

Рис. 1.5

,

.

Длина вектора определяется по формуле:

,

, , .

Можно показать, что скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их одноимённых координат.

,

если , .

Пример № 1.1. Найти скалярное произведение векторов.

Решение.

, ,

.

Пример № 1.2. Между точками получили два вектора и . Найти их проекции и вычислить скалярное произведение

Решение.

,

, ,

Если векторы заданы своими координатами, то угол между векторами можно определить по формуле

.

Пример № 1.3. Определить угол при вершине , если , и .

Рис. 1.6

Решение.

Найдем векторы и . Для этого из координат конца вектора вычтем координаты начала.

; ;

следовательно .

Замечание:

Если векторы параллельны, то их проекции пропорциональны:

.

1.3. Векторное произведение векторов

Определение.

Векторным произведением двух векторов и (рис. 1.7) называется такой вектор , который

1.  Перпендикулярен векторам и .

2.  Направлен в ту сторону, из которой кратчайший поворот от вектора к вектору происходит в направлении против часовой стрелки, если смотреть из конца вектора с.

3.  Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах, как на сторонах.

Рис.1.7

Свойства векторного произведения

1.  При перестановке местами сомножителей векторное произведение меняет знак, а модули их равны.

Если то .

2.  Скалярный множитель можно вынести за знак векторного произведения.

или .

3.  Векторное произведение обладает распределительным свойством, т. е. векторное произведение векторов, заданных своими проекциями.

Пусть даны вектор и вектор можно доказать, что векторное произведение вычисляется определителем 3-го порядка.

Так как модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах, то векторное произведение применяют для вычисления площадей.

Задача: № 1.4 Вычислить площадь с вершинами в точках

Решение.

Вектор имеет проекции:

Вектор имеет проекции:

Площадь r равна 1/2 площади параллелограмма, а a 1/2 модуля векторного произведения

,

Найти площадь S грани А1 А2 А3 (грань пирамиды).

Решим аналогичную задачу:

1. Даны декартовы прямоугольные координаты вершин пирамиды .

Координаты точек:

Составим векторы и

,

.

Найдем векторное произведение:

1.4. Векторно-скалярное произведение векторов

Смешанным (векторно-скалярным) произведением трёх векторов называется число, абсолютная величина которого выражает объём параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на рёбрах.

обозначение смешанного произведения векторов.