Математика и информатика (стр. 7 )

3.3. Нормальное уравнение плоскости.
Расстояние от точки до плоскости

Аналогично тому, как выводится нормальное уравнение прямой из общего уравнения, так же получается и нормальное уравнение плоскости.

По аналогии запишем:

– общее уравнение плоскости, тогда нормирующий множитель: N = и

x + y + z +

+ = 0

или – нормальное уравнение плоскости.

Углы a, β, γ – углы образованные нормальными векторами с осями координат.

Расстояние от точки до плоскости рассчитывается по формуле:

d=.

Задача 3.4. Дана плоскость и точка (1, 0, 0). Найти расстояние от точки до плоскости.

Решение.

d====.

3.4. Угол между плоскостями

Если даны две плоскости уравнениями:

(I)

, (II)

то их нормальные векторы

={} и ={}.

Задача 3.4. Определение угла между плоскостями сводится к нахождению угла между векторами (см. рис. 3.3).

Рис.3.3

Решение. Перенесем и в любую точку пространства и определим φ по скалярному произведению двух векторов

=.

Условие перпендикулярности двух плоскостей или

, параллельности – const.

3.5. Прямая в пространстве

1.  Каноническое уравнение прямой (см. рис. 3.4.).

Пусть прямая проходит через т. параллельно данному вектору {m, n, p}.

Напишем уравнение этой прямой. Для этого возьмем на ней произвольную т. M(x, y, z). Составим вектор

={}.

Рис.3.4

Этот вектор будет коллинеарен вектору . По условию коллинеарности векторов можно записать

– это уравнение называется каноническим уравнением прямой в пространстве.

Вектор {m, n, p} называется направляющим вектором этой прямой. Если – единичный вектор, т. е. =1, то ; ; , где – углы образуемые вектором с осями Ox; Oy; Oz.

2.  Параметрическое уравнение прямой.

Положим в канонических уравнениях отношения равными t – параметру

,

тогда получим:

, , или

– получим параметрическое уравнение прямой

Здесь – координаты точки , а m, n, p – проекции направляющего вектора .

Задача 3.5. Составить каноническое и параметрическое уравнение прямой, проходящей через т. M(1, 2, 3) и параллельно вектору {2, –7, 10}.

Решение.

– каноническое уравнение.

– параметрическое уравнение прямой.

3.  Уравнение прямой, проходящей через 2 точки.

Пусть прямая проходит через 2 точки: и .

Составим вектор , лежащий на прямой

– это направляющий вектор прямой. Тогда можно записать уравнение прямой через 2 точки

Задача 3.6. Составить уравнение ребра пирамиды с вершинами , , , .

Решение.

Используем уравнение прямой, проходящей через 2 точки и

,

.

Здесь {–4, –10, –6} – координаты направляющего вектора прямой – ребра пирамиды .

Контрольные вопросы

Чем определяется угловой коэффициент прямой?

Каким образом определяется расстояние от точки до плоскости?

Как определить угол между двумя плоскостями?

Сформулируйте условие параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Приведите вывод канонического уравнения прямой.

Что такое направляющий вектор прямой?

Контрольные задания

1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку
В(5; 3) и имеющий нормальный вектор = (5; 0).

2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку
С(–3; 3) и имеющий нормальный вектор = (–3; 2).