Математика и информатика (стр. 3 )

Эти три вектора некомпланарны, т. е не лежат в одной плоскости. Поэтому, если , то это необходимое и достаточное условие компланарности векторов.

Смешанное произведение векторов, заданных в координатах.

Если векторы заданы в координатах, т. е то смешанное произведение векторов вычисляется через определитель третьего порядка

.

Пример № 1.5.

Найти если .

Решение.

.

Задача № 1.6

Найти объём V пирамиды, данной координатами вершин пирамиды А1(0, 1, 2), А2(4, 3, –2) , А3(–4, 5, 0).

Решение.

Можно доказать, что объём пирамиды равен модуля векторно-скалярного произведения, составленного из трёх векторов-рёбер, выходящих из одной вершины.

Составим векторы

.

Найдём Vпирамиды:

куб. ед.

Vпирамиды =V параллелепипеда =

куб. ед.

Задача № 1.7.

Доказать компланарность векторов, проходящих через точки

А(2, –1, –2), В(1, 2, 1), С(2, 3, 0), D(5, 0, –6).

Решение.

Векторы компланарны, если они лежат в одной плоскости (рис. 1.8). Тогда объём параллелепипеда, построенного на этих векторах равен 0, т. е. смешанное произведение равно 0.

Составим векторы

Рис.1.8

,

,

.

Смешанное произведение векторов.

=(–1)( –16 – 2) – 3(0 – 12)=18+18 – 36 = 0.

Контрольные вопросы:

Что называется вектором?

Как определяются координаты вектора и его длина?

Что такое орт?

Приведите примеры коллинеарных векторов.

Что такое скалярное произведение векторов?

Чем определяется векторное произведение векторов?

Что определяет векторно-скалярное произведение векторов?

Какие вектора называются компланарными?

Сформулируйте необходимое и достаточное условие компланарности векторов.

Контрольные задания

Даны векторы и . Найти ; ; .

Даны точки А(3; –1), В(0; –5) и С(–2; 1). Найти

3.* Даны точки А(4; 0), В(–1; 3) и С(5; 7). Найти ; ;

4. Найти длины векторов

5. Даны точки А(3; 5); В(–3; 3); С(5; –8). Найти длины векторов .

6.** Дан треугольник с вершинами А(7; 7), В(4; 3), С(3; 4). Найти его периметр.

7. Найти сумму векторов и , если

8. Найти разность векторов и , если

9. Дан вектор Найти

10. Вектор задан точками и . Найти:

11.* Векторы заданы точками A(–3; 5; 0), B(–1; 4; 2), C(0; –3; 5), D(6; –7; 8). Найти:

12.* Вычислить длины векторов

13. Вычислить длину вектора, заданного координатами своих начала и конца вектора:

a. A(5; 3; –1), B(4; 5; 1); b. C(3; –2; –5), D(7; 6; –1).

14.** Найти периметр треугольника с вершинами:

A(3; –2; 8), B(–1; 3; –3), C(5; 1; –7).

15. Заданы векторы, такие что , , а угол между ними равен . Найти .

16.* Заданы векторы, такие что , , а угол между ними равен . Найти ; .

17. Найти скалярное произведение векторов, заданных своими координатами на плоскости:

a. = (5; 7), = (4; 3); b. = (2; 0), = (–3; –7);

c. = (–3; 5), = (16; 1); d. = (–3; 1), = (1; –3);

e. = (5; –7), = (7; 5); f. = (2; 0), = (0; –3).

18. Найти угол между векторами, если: