Математика и информатика (стр. 5 )

Если прямые параллельны, то , следовательно дробь должна быть равна 0, а это возможно если =0, т. е.

Задача 2.3. Дана прямая 3x – 4y + 4 = 0.

Найти уравнение прямой, проходящей через точку М(2, –1)

a. перпендикулярной к данной;

b. параллельной ей.

Решение.

Приведём уравнение к уравнению с угловым коэффициентом

– 4y = –3x – 4, y =, k = .

Из условия параллельности k1=. Тогда используя уравнение прямой через данную точку y – y1 = k (x – x1)

b. y + 1 = 4 y + 4 = 3 x – 6 3x – 4y – 10 = 0.

a. Если k = , по условию перпендикулярности

.

Задача 2.4. Даны 3 точки А(3; –13), В(21; –1), С(10; –4). Проверить, что эти 3 точки не лежат на одной прямой, т. е. образуют треугольник.

Решение.

Найдем уравнения всех сторон треугольника по формулам уравнения прямых через 2 точки.

Уравнение АВ: А(3; –13), В(21; –1)

;

;

2x – 6 = 3y + 39 => 2x – 3y – 45=0.

Уравнение ВС: В(21; –1), С(10; –4)

;

3x – 11y – 74 = 0.

Уравнение AС: С(10; –4), A(3; –13)

;

9x – 27 = 7y + 91; 9x – 7y – 118 = 0.

Cтроим эти точки в системе координат. По уравнению линий, видим, что угловые коэффициенты их различны и точка А не принадлежит прямой ВС.

А(3; –13) уравнение ВС: 3х – 11у – 74 = 0.

33 – 11(–13) –740, следовательно, прямые образуют треугольник.

Найдем С между АС и ВС

АС: 9х – 7у – 118 = 0, k=.

BC: 3x – 11y – 74 = 0, k=.

Пусть k=, k=, tgACB =,

ACB57,3.

Задача 2.6. Вычислить периметр треугольника.

Решение.

Найдем расстояние между точками А и В, В и С, С и А.

P=++21,6+11,4+11,444,4.

2.7. Расстояние от точки до прямой.
Вывод нормального уравнения прямой

Предположим, что в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 выполняется условие А+ В= 1. Геометрически это означает (см. рис. 2.7).

Рис. 2.7

Если провести из начала координат на прямую вектор, то его длина равна 1 (см. рис. 2.7). Вектор – нормальный (перпендикулярный) единичный вектор прямой, где А и В – проекции этого вектора на оси ОХ и ОУ. В этом случае уравнение называем нормальным и записывается так: Ах + Ву + С=0. Любое другое уравнение прямой (общее) приведем к нормальному виду, если разделим его левую часть на , тогда является нормирующим множителем. Иногда это уравнение записывается так:

или , т. е.

(φ – угол наклона нормального вектора к оси ОХ)

– длина вектора

Найдем расстояние от т. до прямой Ах + Ву + С = 0. Приведем уравнение прямой к нормальному виду. Для этого умножим на – нормирующий множитель. Получим , подставим т. в это уравнение.

Тогда т. к. для вектора . Вектор – вектор расстояния от т. до прямой. Длина вектора ==, т. к. =(рис. 2.7).

Следовательно, = – расстояние от т. М до прямой Ах + Ву + С = 0 или =.