Математика (стр. 2 )

— Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии;

— Элементы математического анализа;

— Теория вероятностей и математическая статистика.

Указанный порядок следования разделов не является обяза­тельным при изложении курса.

Темы обяза­тельны для освоения курса высшей математики; остальные темы, хотя и имеют большое прикладное значение для будущих специа­листов сельского хозяйства, требуют дополнительного времени для их изучения, и поэтому целесообразно выделить их в самостоя­тельные специальные курсы.

1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Матрицы, действия с ними. Определители второго и третьего порядков, их свойства и методы вычисления. Обратная матрица. Ранг матрицы. Системы линейных уравнений и методы их решения.

Комплексные числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная форма комплексного числа. Действия с комплексными числами в алгебраической и тригонометрической форме.

Системы координат: декартова и полярная. Уравнение линии на плоскости. Уравнение прямой на плоскости. Кривые второго порядка. Уравнение прямой и плоскости в пространстве.

2. Элементы математического анализа

Понятие множества. Операции над множествами. Понятие функции одной переменной. Предел функции. Основные теоремы о пределах. Замечательные пределы. Непрерывность функции. Свойства непрерывных функций.

Производная функции, ее геометрический и физический смыслы. Дифференцируемость функции и ее связь с непрерывностью. Дифференциал функции, его свойства. Основные теоремы о дифференцируемых функциях. Исследование функции и построение графика.

Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенных интегралов. Методы интегрирования. Определенный интеграл, его свойства. Приложения определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур. Несобственные интегралы.

Функции нескольких переменных, основные понятия. Предел и непрерывность функции нескольких переменных. Частные производные, безусловный и условный экстремумы. Двойные интегралы и их приложения.

3. Теория вероятностей и математическая статистика

Вероятность события. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности, формула Байеса. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.

Дискретные случайные величины, способы их задания: ряд распределения, функция распределения. Числовые характеристики дискретной случайной величины.

Непрерывные случайные величины, способы их задания: функция распределения, функция плотности распределения случайной величины. Числовые характеристики непрерывной случайной величины. Основные законы распределения непрерывной случайной величины.

Задачи математической статистики. Генеральная и выборочная статистические совокупности. Выборочный метод. Вычисление числовых характеристик.

Распределение учебного времени по темам дисциплины «математика»

Наименование разделов и тем	Объём работы (час.)
Лекции	Практ.	Сам. работа	Всего
I	II	III	IV	V
1 КУРС Тема 1. Введение в математический ана­лиз. Основные элементарные функции. Предел и непрерывность функции. Первый и второй замечательные пределы. Тема 2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная. Правила дифференцирования функций. Про­изводная сложной функции. Производные высших порядков. Дифференциал. Его свойства. Приложения дифференциала. Приложения производной. Тео­ремы Ролля, Лагранжа, Коши. Экстремум функции. Выпуклость, вогнутость кривой, . точки ее перегиба. Схема исследования функции и построения ее графика. Тема 3. Неопределенный интеграл. Его свойства. Таблица основных интегралов. Методы интегрирования: подстановкой, по частям. Интегрирование рациональных дро­бей и простейших иррациональностей. Тема 4. Определенный интеграл. Форму­ла Ньютона-Лейбница. Приближенное вы­числение определенного интеграла. Несоб­ственные интегралы. Геометрические и фи­зические приложения определенного интег­рала. Тема 5. Функции нескольких переменных Экстремум функции нескольких переменных 2 КУРС Тема 6. Основные понятия теории вероятностей. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Повторные независимые испытания. Случайные величины, числовые характеристики. Тема 7. Основные сведения из математической статистики. Статистическое оценивание. Тема 8. Основы теории корреляции.	2 2 2 2 2 2 2 2	2 2 2 2 2 2 2 2	15 15 15 20 23 44 44 44	19 19 19 24 27 48 48 48
ВСЕГО	16	16	220	252

Раздел 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Тема 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Задача 1. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса и методом Крамера. Сделать проверку.

Решение:

1)  Решим систему методом Гаусса

Составим расширенную матрицу системы.

А* =

Преобразуем полученную матрицу с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду:

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

,

откуда получаем: x1 = 1; x2 = 2; x3 = 3.

2)  Решим систему методом Крамера

D = = = 20 – 12 – 3 + 8 + 2 - 45 = -30;

D1 = = 0 – 48 – 42 + 32 + 28 - 0 = -30.

x1 = D1/D = 1;

D2 = = 140 + 0 -16 +56 – 0 – 240 = -60.

x2 = D2/D = 2;

D3 = = 160 – 56 + 0 – 0 – 210 + 16 = -90.

x3 = D3/D = 3.

Тема 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Задача 2. Даны вершины треугольника ABC:

А( -2 ; 1), В ( 10; 10), С( 8; -4).

Найти:

1)  длину стороны АВ;

2)  уравнения сторон АВ и АС в общем виде и их угловые коэффициенты;

3)  угол А в радианах;

4)  уравнения медианы АМ;

5)  уравнение высоты СD и её длину;

6)  уравнение окружности, для которой высота СD есть диаметр.

7)  сделать чертёж.

Решение:

1) Расстояние d между точками М1 (x1; y1) и M2 (x2; y2) определяется по формуле:

(1)

Подставив в эту формулу координаты точек А и В, имеем:

2) Уравнение прямой, проходящей через точки М1 (x1; y1) и M2 (x2; y2), имеет вид:

(2)

Подставив в (2) координаты точек А и В, получим уравнение прямой АВ:

Для нахождения углового коэффициента kАВ прямой АВ разрешим полученное уравнение относительно у:

Отсюда kАВ =

Подставив в формулу (2) координаты точек А и С, найдем уравнение прямой АС.

Отсюда kАс = Угол α между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых равны k1 и k2, определяется, по формуле:

(3)

Угол А, образованный прямыми АВ и АС, найдем по формуле (3), подставив в нее

k1 = kАВ = , k2 = kАс =

А =-1.107 (рад.)

4)  Так как AM является медианой в треугольнике, то точка М есть середина отрезка CВ. Воспользовавшись фор­мулами деления отрезка пополам, получим:

Подставив в уравнение (2) координаты точек А и М, получим уравнение прямой АМ: 2x-11y+15=0

5) Так как высота CD перпендикулярна стороне АВ, то угловые коэффициенты этих прямых обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку М1 (x1; y1) в заданном угловым коэффициентом k направле­нии, имеет вид: