Математика (стр. 3 )

(4)

Подставив в (4) координаты точки С и kСД = получим уравнение высоты CD:

Для нахождения длины CD определим координаты точке. D, решив систему уравнений (АВ) и (CD):

x = 2

y = 4

Подставив в формулу, (1) координаты точек С и D, нахо­дим:

5)  Уравнение окружности радиуса R с центром в точке E (а; b) имеет вид:

(6)

Так как CD является диаметром искомой окружности, то её центр Е есть середина отрезка CD. Воспользовавшись фор­мулами деления отрезка пополам, получим:

Следовательно, Е ( 3; 0) ,и R = 10. Используя формулу (6), получаем уравнение искомой окружности:

На рис. 1 в декартовой прямоугольной системе координат хОу изображен треугольник ABC, медиана АМ, высота CD, окружность с. центром в точке Е.

Рис. 1

A

B

y

x

D

C

E

М

Тема 3. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

Задача 3. Вычислить пределы:

a) 

b) 

c) 

d) 

Решение:

a)  Подстановка предельного значения аргумента х=2 приводит к неопределённому выражению . Для устранения этой неопределённости разложим числитель и знаменатель дроби на линейные множители и сократим дробь.

x2 – 6x + 8 = 0; x2 – 8x + 12 = 0;

D = 36 – 32 = 4; D = 64 – 48 = 16;

x1 = (6 + 2)/2 = 4; x1 = (8 + 4)/2 = 6;

x2 = (6 – 2)/2 = 2 ; x2 = (8 – 4)/2 = 2;

Тогда

b)  Подстановка предельного значения аргумента х=∞ приводит к неопределённому выражению . Для устранения этой неопределённости разделим числитель и знаменатель дроби на х2.

c)  Применяя свойства пределов и следствие из формулы первого замечательного предела (где k – отличное от нуля действительное число), имеем:

d)  При х→∞ стоящее пол знаком предела выражение приводит к неопределённости 1∞. Для устранения этой неопределенности представим основание степени в виде суммы 1 и бесконечно малой величины при х→∞ и применим формулу второго замечательного предела.

Тема 4. Производная и дифференциал

Задание 4. Найти производные функций:

a) 

b)  .

c) 

d) 

Решение:

a)  Применяя правила дифференцирования произведения, сложной функции и формулы дифференцирования, получим:

b)  Применяя правило дифференцирования частного и формулы дифференцирования, получим:

c)  Применяя правила дифференцирования сложной функции, частного и формулы дифференцирования, получим:

d)  Применяя правила дифференцирования суммы, сложной функции, частного и формулы дифференцирования, получим:

Тема 5. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

Задача 5. Исследовать функцию у= x3-2x2+1 и построить ее график.

Решение. Исследование функции проведем по следую­щей схеме:

1.  Найдем область определения функции.

2.  Исследуем функцию на непрерывность.

3.  Установим, является ли данная функция четной, нечет­ной.

4.  Найдем интервалы возрастания и убывания функции и точки экстремума.

5.  Найдем интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба.

6.  Найдем асимптоты кривой.

7.  Построим график.

Реализуем указанную схему:

1) Область определения: функция определена при всех значениях аргумента, т. е. х(-∞; +∞).

2) Данная функция является элементарной, поэтому она непрерывна на своей области определения.

3) Для установления четности или нечетности функции проверим выполнимость равенств f(—x)=f(x) (тогда f(x) — четная функция) или f(—х) = — f(х) (для нечетной функции) для любых х и —х из области определения функции: следовательно, f(—х) ≠ f(х) и f(—х) ≠ —f(x), то есть данная функция не является ни четной, ни нечетной.

4) Для исследования функции на экстремум найдем ее пер­вую производную:

у'=0 при х1=0 и x2 =. Тем самым имеем две критические точки: x1=0, x2 =

Разобьем числовую ось на два интервала (рис. 1): (-∞; 0), (0; ), (;∞).

f’(x)
+	-	+
x

 

Рис.2

В первом и третьем интервалах первая положительна, следовательно, здесь функция возрастает; на втором интервале — отрицательна и данная функция убывает. При переходе через точку х = первая производная меняет свой знак с минуса на плюс, поэтому в этой точке функция имеет минимум: ymin = y() =. Значит, C(;) — точка мини­мума.