Математика (стр. 4 )

При переходе через точку х=0 первая производная меняет свой знак с плюса на минус, поэтому в этой точке функция имеет максимум: ymax = y(0) = 0. Значит, А(0;1) — точка максимума.

На рис. 2 знаками +, — указаны интервалы знакопостоянства производной у', а стрелками — возрастание и убыва­ние исследуемой функции.

5) Для определения точек перегиба графика функции и ин­тервалов выпуклости и вогнутости кривой найдем вторую про­изводную

у"=0 при х =. Разобьем числовую ось на два интервала (рис. 3); (-∞;), (;∞).

На втором интервале вторая производная у" положительна и дуга исследуемой кривой вогнута; на первом интервале у"< 0, тем самым график является выпуклым. При переходе через точку х = y" меняет свой знак, поэтому х = - абсцисса точки перегиба.

Следовательно B(; ) —точка перегиба графика функции.

-		+
f”(x)
x

 

f(x)

6) Асимптоты

Так как функция непрерывна на всей числовой оси, то вертикальных асимптот нет.

Для определения уравнения наклонной асимптоты y=kx+b воспользуемся формулами:

,

Тогда

Значит наклонной асимптоты нет.

График исследуемой функции, представлен на рис. 4.

Рис. 4.

A

B

C

y

x

Тема 6. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Задача 6. Найти неопределённые интегралы.

a) 

b) 

c) 

Решение:

a)  Для вычисления данного интеграла раскроем скобки в подынтегральном выражении, после чего применим свойства неопределенного интеграла и формулы табличных интегралов.

b)  Для вычисления данного интеграла используем метод замены переменной, после чего применим свойства неопределенного интеграла и формулы табличных интегралов

c)  Для нахождения интеграла применим формулу интегрирования по частям :

Тема 7. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

Задача 7. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделать чертёж.

Решение: Площадь S фигуры, ограниченной снизу кривой y = f1(x), сверху – кривой y = f2(x), слева и справа – соответственно прямыми x = a, x = b, определяется по формуле

(1)

Найдём точки пересечения параболы и прямой. Для этого решаем систему уравнений:

отсюда имеем: x1 = -4, x2 = 1 и y1 = 0, y2 = 5.

Значит, парабола и прямая пересекаются в точках (-4;0) и (1; 5) (Рис. 5).

Подставив в формулу (1) f2(x) = x2+4x, f1(x) = x+4 и a = -4, b = 1, получим:

Рис. 5.

x

y

y = x + 4

y = x2 + 4х

Тема 8. теоремы сложения и умножения вероятностей

Задача 8. Два стрелка производят по одному выстрелу в цель. Вероятность попадания в цель первого стрелка равна 0,8; второго-0,7. Найти вероятность того, что цель будет поражена первым или вторым стрелком.

Решение: Пусть событие А-цель поражена первым стрелком; событие В-цель поражена вторым стрелком; событие С-цель поражена первым или вторым стрелком. По условию Р(А) = 0,8; Р(В)= 0,7; Р(С)=Р(А+В). Т. к. события А и В совместные, то применяем теорему о сумме совместных событий. Р(С)=Р(А+В)=0,8+0,7-0,8=0,94.

Задача 9. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность безотказной работы на протяжении одного часа после наладки для первого станка равна 0,9; для второго станка-0,8; для третьего-0,7. Найти вероятность того, что за этот час откажет в работе хотя бы один станок.

Решение: Обозначим события: А - безотказная работа первого станка в течении часа; В- безотказная работа второго станка в течении часа; С - безотказная работа третьего станка в течении часа; D - откажет в работе хотя бы один станок в течении часа.

По условию Р(А)=0,9; Р(В)=0,8; Р(С)=0,7;

Противоположенное событие - безотказно работают в течении часа все станки, т. е. =. Тогда Р()===0,504. Отсюда

Р(D)=1-0.504=0.496.

Тема 9. повторные независимые испытания

Задача 10. Вероятность всхожести семян пшеницы равна 0,9. Какова вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут не менее двух?

Решение: Если проводится серия из n независимых испытаний в каждом из которых вероятность наступления события постоянна и равна р, а вероятность не наступления этого события равна q = 1-р. Тогда вероятность того, что событие А в n испытаниях появится ровно k раз, вычисляется по формуле Бернулли , где - число сочетании из n элементов по k.