Математика (стр. 5 )

Пусть событие А – из 4 семян взойдут не менее 2; событие В – из 4 семян взойдут 2 семени; событие С – из 4 семян взойдут 3 семени; D – из 4 семян взойдут 4 семени. По теореме сложения вероятностей Р(А) =Р(В)+Р(С)+HHhHHР(D). Вероятности Р(В), Р(С), Р(D) определим по формуле Бернулли 0,0486;

;

.

Искомая вероятность Р(А) = 0,0486+0,2916+0,6561=0,9963.

Задача 11. На тракторном заводе рабочий за смену изготавливает 400 деталей. Вероятность того, что деталь окажется первого сорта равна 0,9. Какова вероятность, что деталей первого сорта будет ровно 350 штук.

Решение. Если число испытаний велико, то искомая вероятность вычисляется по локальной теореме Лапласа:

, где и

По условию р=0,9; q=1-0.9=0.1; n=400; k=350.

x=.

Из таблицы 1. приложений находим (-1,67) = (1,67) = 0,0989. Искомая вероятность равна

.

Задача 12. Вероятность всхожести семян равна 0,6. Найти вероятность, что из 600 посеянных семян взойдут от 330 до 375 семян.

Решение. Если вероятность наступления события А в каждом из n испытаний постоянна и равна р, то вероятность того, что событие А в таких испытаниях наступит не менее раз и не более раз определяется по интегральной теореме Лапласа:

, где ;

Функция Ф(x)= называется функцией Лапласа. Используя функцию Лапласа, получим .

По условию n=600; p=0,6; q=1-0.6=0.4; =330; =375.

;

По таблице 2. приложений находим

Ф(1,25) = 0,3944; Ф(-2,5) = - Ф(2,5) = -0,4938,

тогда .

Тема 10. Случайная величина и ее числовые характеристики

Задача 13. Дискретная величина Х задана законом распределения

X	48	53	57	61
P	0.2	0.4	0.3	0.1

Требуется вычислить:

а) математическое ожидание М(X);

б) дисперсию D(X);

в) среднее квадратическое отклонение ;

г) начертить график закона распределения и показать на нем вычисленное М(Х), и .

Решение:

а) Если дискретная случайная величина Х задана с помощью таблицы, то ее математическое ожидание М(Х) вычисляется по формуле

М(Х)=.

М(Х)=48+53+57+61=54

б) Дисперсию D(X) дискретной случайной величины Х найдем по формуле

.

D(X) =

=7.2+0.4+2.7+4.9=15.2

в) Средне квадратическое отклонение найдем по формуле:

= .

.

г) Делаем чертеж. По оси абсцисс откладываем в выбранном масштабе значение случайной величины, по оси ординат - соответствующие вероятности. Полученные точки соединяем прямыми линиями получаем многоугольник распределения заданной случайной величины

Рис. 6.

Тема 11. Основные сведения из математической статистики

Задача 14. Результаты обследования 20 семей по числу членов оказались такими: 2; 4; 4; 6; 5; 4; 6; 5; 2; 2; 3; 4; 5; 5; 3; 2; 3; 4; 4; 4. Получить по этим данным вариационный ряд и построить полигон распределения относительных частот. Вычислить выборочное среднее, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение.

Решение: Проводим ранжирование заданного ряда. Для этого переписываем результаты наблюдений в порядки возрастания вариант: 2; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 5; 5; 5; 5; 6; 6.По ранжированному ряду определяем частоты различных вариант. Варианта два встречается в заданном ряду 4 раза следовательно ее частота . Варианта три встречается 3 раза следовательно ; аналогично получаем , , .

Определяем относительные частоты наблюдавшихся в выборке вариант по формуле

. Т. к. объем выборки n=20 то

Проверяем правильность расчетов. Для этого суммируем вычисленные относительные частоты =0,2+0,15+0,35+0,2+0,1=1.

Сумма всех относительных частот равна 1, следовательно, вычисления сделаны, верно. Результаты вычислений сводим в таблицу, которая называется рядом распределения. Полученную таблицу представляем в виде графика, в котором по горизонтальной оси откладываем значения вариант, а по вертикальной оси относительные частоты. Соединив точки прямыми линиями получим многоугольник или полигон распределения относительных частот

Значение варианты	2	3	4	5	6
Частота варианты	4	3	7	4	2
Относительная частота варианты	0,2	0,15	0,35	0,2	0,1

Рис. 7.

xi

wi

Для вычисления выборочного среднего, выборочной дисперсии и выборочного среднего квадратического отклонения составим следующую вспомогательную таблицу.

xi	ni	xi× ni	xi2× ni
2	4	8	16
3	3	6	27
4	7	28	112
5	4	20	100
6	2	12	72
å	20	77	327

Находим выборочное среднее по формуле: