Высшая математика (стр. 2 )

(6)

Задание 1. Вычислить повторный интеграл:.

Решение. Вычислим сначала интеграл по переменной y (x - параметр). Имеем

.

Полученный интеграл является обычным определенным интегралом. Окончательно имеем

.

Задание 2. Записать данный двойной интеграл в виде повторных, взятых в различных порядках:

,

область интегрирования D ограничена линиями x=2, y=x, y=1/x.

Решение. Построим область интегрирования D (рис.3).

1)По формуле (3) при a=1, b=2, получаем

.

 

Рис. 3.

2) Если же для вычисления данного интеграла применить формулу (4), то надо положить c=1/2, d=2,  , .

Тогда

.

Задание 3. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле:

.

Решение. Область интегрирования D  ограничена снизу кривой

,

сверху кривой

и представлена на рис. 4.

Рис. 4.

Поэтому имеем

.

Задание 4. Перейдя к полярным координатам, вычислить интеграл:

.

Решение. Положим

и применим формулу (6). Так как , то

.

Областью интегрирования исходного интеграла является четверть круга радиуса R=1 с центром в начале координат (рис. 5).

Рис. 5.

Следовательно, в области D1  изменяется от 0 до 1 и . Таким образом, имеем:

.

1.2. Тройные интегралы

Пусть функция u=f(x,y,z) определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области T пространства Oxyz. Разобьем область T произвольным образом на n областей V1, V2,…, Vn, которые назовем элементарными областями. В каждой из элементарных областей произвольным образом выберем по точке , которые назовем точками пунктуации. Обозначим через  объем, а через  диаметр i-ой элементарной области (i=1,…,n), . Составим выражение

, (7)

которое называется интегральной суммой Римана для функции u=f(x,y,z) по области T . Заметим, что выражение (7) зависит от способа разбиения области T на элементарные области и от способа выбора точек пунктуации.

Если существует предел выражения (7) при  и если этот предел не зависит ни от способа разбиения области T на элементарные области, ни от способа выбора точек пунктуации, то он называется тройным интегралом от функции u=f(x,y,z) по области T и обозначается

Таким образом,

(8)

Свойства тройных интегралов аналогичны свойствам двойных интегралов.

Вычисление тройных интегралов сводится к вычислению повторных интегралов следующим образом. Пусть область T ограничена снизу поверхностью, сверху поверхностью  и с боков прямой цилиндрической поверхностью; проекцией области T на плоскость Oxy является область D (рис. 6). Такую область назовем правильной в направлении оси Oz.

Рис. 6

Пусть функция u=f(x,y,z) определена и интегрируема в области T и для любых точек  существует интеграл

.

Тогда существует интеграл

и справедлива формула

(9)

Аналогичные формулы справедливы и в случае, когда область T правильная в направлении оси Ox или оси Oy .

Теорема (о замене переменных в тройном интеграле). Пусть выполняются следующие условия:

1) функции x=x(u,v,w), y=y(u,v,w) и z=z(u,v,w) таковы, что каждой точке с координатами (x,y,z) из области T соответствует единственная точка с координатами (u,v,w) из области T1 и наоборот;

2) функции x=x(u,v,w), y=y(u,v,w) и z=z(u,v,w) имеют непрерывные частные производные по переменным u , v и w;

3) функция u=f(x,y,z) определена и интегрируема в области T .

Тогда справедлива формула:

, (10)

где

- якобиан перехода от декартовых координат к криволинейным координатам.

Частным случаем криволинейных координат для тройного интеграла являются цилиндрические и сферические координаты.

1)    В случае цилиндрических координат положение точки M в пространстве определяется тремя числами , где  и  - полярные координаты проекции точки M на координатную плоскость Oxy,  z – аппликата точки M (рис.7).

Рис. 7

Имеют место формулы:

 ,

якобиан перехода от декартовых координат к цилиндрическим равен  и формула (10) принимает вид:

(11)

2) В случае сферических координат положение точки M в пространстве определяется тремя числами , где  - расстояние от начала координат до точки M,  - угол между проекцией радиус-вектора точки M на плоскость Oxy и осью Ox,  - угол между радиус-вектором точки M и осью Oz (рис.8).