Высшая математика (стр. 5 )

где функции Ax(M), Ay(M), Az(M) имеют непрерывные частные производные. Тогда имеет место формула:

, (38)

где  - орт нормали к поверхности S, направленный так, что при обходе контура L область, ограниченная L, остается слева, если смотреть с конца орта нормали.

Задание 1. Дано векторное поле  и плоскость P:

2x-y+2z-2=0, которая с координатными плоскостями образует пирамиду T. Пусть поверхность SABC – грань пирамиды (треугольник АВС), принадлежащая плоскости P, LABC - контур, ограничивающий SABC .

 

Вычислить:

1) поток векторного поля через полную поверхность S пирамиды T в направлении внешней нормали (непосредственно и по теореме Гаусса-Остроградского);

2) циркуляцию данного векторного поля  по контуру LABC (непосредственно и по теореме Стокса).

Решение.

 1) Изобразим пирамиду (рис.13).

Рис. 13

Тогда поток данного векторного поля равен:

Вычислим каждый из интегралов правой части последнего равенства.

а)

Уравнение поверхности SOAC : z=0 ; орт нормали к SOAC имеет вид: ; поверхность SOAC проектируется в область DOAC плоскости Oxy (рис. 14).

 

Рис. 14

Так как орт нормали к поверхности , то подынтегральная функция рассматриваемого интеграла . Следовательно,

.

б)

Уравнение поверхности SOAB: y=0 ; орт нормали к SOAB  имеет вид: ; поверхность SOAB проектируется в область DOAB плоскости Oxz (рис.15). Следовательно, в силу формулы (32):

.

Вычислив полученный повторный интеграл, имеем:

.

 

Рис. 15.

в)

Уравнение поверхности SOBC: x=0 ; орт нормали к SOBC имеет вид: ;  поверхность SOBC проектируется в область DOBC плоскости Oyz (рис.16). Так как орт нормали , то подынтегральная функция рассматриваемого интеграла . Следовательно,

.

Рис. 16

г)

Уравнение поверхности SABC: 2x-y+2z-2=0 ; орт нормали к SABC имеет вид: ; поверхность SABC проектируется в область DABC плоскости Oxy, совпадающую с областью DOAC (рис.14). Следовательно, в силу формулы (32) имеем:

Вычислим полученный повторный интеграл:

.

Таким образом, поток векторного поля  через полную поверхность S данной пирамиды T равен:

.

2) Вычислим теперь поток данного векторного поля  через полную поверхность S  пирамиды T по теореме Гаусса-Остроградского:

.

Дивергенция данного векторного поля  равна:

.

Следовательно,

.

Вычисляем полученный тройной интеграл:

.

Решение 2

1) Вычислим циркуляцию данного векторного поля по контуру LABC :

.

Вычислим каждый из интегралов правой части полученного равенства:

а) .

Составим параметрические уравнения отрезка AB:

,

где. Тогда в силу формулы (29) имеем:

.

б) .

Составим параметрические уравнения отрезка BC:

,

где t меняется от 0 до -2. Тогда в силу формулы (29) имеем:

.

в) .

Составим параметрические уравнения отрезка CA:

,

где. Тогда в силу формулы (29) имеем:

.

Следовательно, циркуляция данного векторного поля по контуру LABC равна: .

2) Вычислим теперь циркуляцию векторного поля  по контуру LABC с помощью теоремы Стокса:

.

Для этого найдем ротор данного векторного поля :

.

Орт нормали к поверхности SABC мы находили при вычислении потока векторного поля : (п.1а). Следовательно,

.

Уравнение поверхности SABC: 2x-y+2z-2=0 ; поверхность SABC проектируется в область DABC плоскости Oxy (рис.14). Таким образом, в силу формулы (32) имеем:

 

2. Ряды

Теоретические вопросы

Числовые ряды. Основные понятия.

Необходимый признак сходимости числового ряда.

Признаки сравнения числовых рядов.

Признак Даламбера.

Признак Коши.

Интегральный признак Коши.

Знакопеременные ряды. Основные понятия.