Высшая математика (стр. 1 )

 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

НОВГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ ЯРОСЛАВА МУДРОГО

 

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

 

Контрольные задания и методические указания

для студентов заочного отделения

инженерно-технических специальностей

(часть 3)

 

ВЕЛИКИЙ НОВГОРОД

2008

 

Р е ц е н з е н т

канд. физ.-мат.наук, доцент кафедры

прикладной математики и информатики

 

Высшая математика: Контрольные задания и метод. указания для студентов заочного отделения инженерно-технических специальностей (часть3) / Сост. , ; НовГУ им. Ярослава Мудрого. – Великий Новгород, 2008. – 55с.

 

Пособие является руководством по выполнению контрольных работ по курсу высшей математики для студентов-заочников инженерно-технических специальностей вузов. Оно содержит вопросы и теоретические сведения, необходимые для выполнения контрольных работ по данной теме, примеры решения задач, контрольные задания и список литературы.

 

Введение

При изучении курса высшей математики студент-заочник должен выполнить ряд контрольных работ. Решения задач и пояснения к ним должны быть достаточно подробными. Все решения надо приводить полностью, чертежи и графики должны быть выполнены четко, с указанием масштаба и названий координатных осей. Обозначения к задачам должны соответствовать указаниям на чертежах и графиках. К выполнению контрольного задания следует приступать после изучения теоретического материала по учебникам и решения достаточного количества задач по материалу, соответствующему этому заданию. Данное пособие предназначено для студентов-заочников 2-го курса осеннего семестра.

 

Глава I. Кратные интегралы.

 Криволинейные и поверхностные интегралы.

Векторный анализ

Теоретические вопросы

1. Определение двойного интеграла.

2. Свойства двойного интеграла.

3. Вычисление двойного интеграла.

4. Замена переменных в двойном интеграле.

5. Двойные интегралы в полярных координатах.

6. Определение тройного интеграла.

7. Свойства тройного интеграла.

8. Вычисление тройного интеграла.

9. Замена переменных в тройном интеграле.

10. Тройные интегралы в цилиндрических и сферических координатах.

11. Приложения кратных интегралов.

12. Определение криволинейного интеграла (2 рода).

13. Свойства криволинейного интеграла (2 рода).

14. Вычисление криволинейного интеграла (2 рода).

15. Определение поверхностного интеграла (1 рода).

16. Свойства поверхностного интеграла (1 рода).

17. Вычисление поверхностного интеграла (1 рода).

18. Векторное поле. Дивергенция и ротор векторного поля.

19. Поток векторного поля. Теорема Гаусса-Остроградского.

20. Циркуляция векторного поля. Теорема Стокса.

Литература

1. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. М.: Наука, 1989. Т.1,2.

2. Высшая математика. М.: Высш. шк., 1990.

3. , , Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Высш. шк.,1998. Ч.1,2.

 

1.1. Двойные интегралы

Пусть функция z=f(x,y) определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области D плоскости Oxy. Разобьем область D произвольным образом на n областей S1, S2, … , Sn , которые назовем элементарными областями. В каждой из элементарных областей произвольным образом выберем по точке: ,, которые назовем точками пунктуации. Обозначим через  - площадь, через  - диаметр i-ой элементарной области (i=1,…, n), . Составим выражение

(1)

Выражение (1) называется интегральной суммой Римана для функции z=f(x,y) по области D. Заметим, что она зависит от способа разбиения области D на элементарные области и от способа выбора точек пунктуации.

Если существует предел интегральной суммы Римана (1) при , и этот предел не зависит ни от способа разбиения области на элементарные области, ни от выбора точек пунктуации, то он называется двойным интегралом от функции z=f(x,y) по области D и обозначается

Таким образом,

(2)

Свойства двойных интегралов аналогичны свойствам определенных интегралов. Отметим два, наиболее часто используемых на практике, свойства.

1)    Свойство линейности. Если функции f(x,y) и g(x,y) интегрируемы по области D, то справедлива формула:

2)    Свойство аддитивности. Если область D  разбита на две области D1 и D2 без общих точек, и функция f(x,y) интегрируема во всех точках области D, то справедлива формула:

Вычисление двойных интегралов сводится к вычислению повторных интегралов следующим образом. Пусть область D ограничена слева и справа вертикальными прямыми x=a, x=b, а снизу и сверху – кривыми , причем  - непрерывны и на промежутке [a,b] (Рис.1). Такую область назовем правильной в направлении оси Oy. Тогда

, (3)

причем сначала вычисляется интеграл по переменной y (x - параметр), а полученный результат интегрируется по  x .

Рис.1.

Заметим, что если кривая  (или) на промежутке [a,b] задается различными аналитическими выражениями, например,

,

то интеграл справа в (3) записывается в виде суммы двух интегралов:

.

Аналогично, пусть область D ограничена снизу и сверху горизонтальными прямыми y=c, y=d, а слева и справа - кривыми , причем непрерывны и на промежутке [c,d]  (Рис.2). Такую область назовем правильной в направлении оси Ox. Тогда

(4)

 

Рис. 2

 

Теорема (о замене переменных в двойном интеграле)

Пусть выполняются условия:

1) функции x=x(u,v) и y=y(u,v) таковы, что каждой точке с координатами (x, y) из области D соответствует единственная точка с координатами (u, v) из области D1 и наоборот;

2) функции x=x(u,v) и y=y(u,v) имеют непрерывные частные производные по переменным u и v в области D1;

3) функция z=f(x,y) определена и интегрируема в области D.

Тогда справедлива формула:

, (5)

где

- якобиан перехода от декартовых координат к криволинейным координатам.

Частным случаем криволинейных координат для двойного интеграла являются полярные координаты:

,

для которых якобиан равен  и формула (5) примет вид: