Высшая математика (стр. 3 )

Рис. 8

 

Имеют место формулы:

 ,

якобиан перехода от декартовых координат к сферическим равен  и формула (10) принимает вид:

(12)

Задание 1. Вычислить интеграл:

,

где T - тетраэдр, ограниченный плоскостями: x+y+z=1, x=0, y=0, z=0.

Решение. Изобразим область интегрирования (рис.9).

Область интегрирования ограничена снизу плоскостью z=0, сверху плоскостью z=1-x-y, по бокам плоскостями x=0 и y=0. Проекцией области T на плоскость Oxy является область D - треугольник OAB . По формуле (9) имеем:

.

 

Рис. 9

Записывая двойной интеграл по области D через повторный интеграл, получим:

И, наконец, вычислим полученный повторный интеграл:

.

Задание 2. Перейдя к цилиндрическим координатам, вычислить интеграл:

.

Решение. Изобразим область интегрирования (рис.10).

Рис. 10

Положим

и применим формулу (11). Так как , то

Задание 3. Переходя к сферическим координатам, вычислить интеграл:

.

Решение. Область интегрирования T есть полушар  (рис.11).

Рис. 11

Найдем пределы изменения сферических координат для области T1:

Следовательно, по формуле (12) имеем:

.

Вычислив полученный тройной интеграл, получим:

.

 

1.3. Приложения кратных интегралов

1. Геометрические приложения двойных интегралов

Площадь S плоской области (фигуры) D выражается в зависимости от рассматриваемой системы координат, следующими интегралами:

(13)

- в декартовых координатах,

(14)

- в полярных координатах.

Пусть гладкая поверхность задана уравнением z=f(x,y). Тогда площадь части этой поверхности, проектирующейся в область D плоскости Oxy, равна:

(15)

Пусть область T ограничена снизу плоскостью z=0, сверху – непрерывной поверхностью z=f(x,y) и с боков прямой цилиндрической поверхностью. Если проекцией области T на плоскость Oxy является область D, то объем V области T выражается интегралом

(16)

2. Механические приложения двойных интегралов.

Масса M пластинки, занимающей область D плоскости Oxy , имеющей плотность , равна:

. (17)

Статические моменты Mx и  My этой пластинки относительно осей Ox и Oy

выражаются интегралами:

(18)

Координаты центра масс и  пластинки определяются следующим образом:

. (19)

Моменты инерции пластинки относительно осей Ox и Oy соответственно равны:

(20)

а момент инерции пластинки относительно начала координат равен:

. (21)

Заметим, что если рассматриваемая пластина однородна, то в приведенных формулах следует положить .

3. Геометрические приложения тройного интеграла

Объем V пространственной области  T равен:

(22)

4. Механические приложения тройных интегралов. Масса M тела с плотностью , занимающего область T, равна

(23)

Статические моменты Mxy, Mxz, Myz тела относительно координатных плоскостей выражаются интегралами:

(24)

Координаты центра масс тела T определяются следующим образом:

. (25)

Моменты инерции тела относительно осей координат соответственно равны:

(26)

.

Заметим, что если рассматриваемое тело однородно, то в приведенных формулах следует положить .

Задание 1. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:

.

Решение. Данное тело ограничено снизу плоскостью z=0, сверху плоскостью y+z=1 и с боков цилиндром (рис.12а).

Проекцией рассматриваемого тела является область D (рис. 12б).

Рис. 12а

 

Рис. 12б

Найдем объем нашего тела двумя способами:

1)    с помощью двойного интеграла;

2)    с помощью тройного интеграла.

В первом случае воспользуемся формулой (16). В нашем случае f(x,y)=1-y.

Следовательно,

.

 

Вычисляем полученный повторный интеграл:

V=8/15.

Теперь найдем значение объема данного тела с помощью тройного интеграла. Для этого воспользуемся формулой (22). Имеем:

.

Вычисляем полученный тройной интеграл:

V=8/15.

Задание 2. Найти координаты центра масс однородного тела, ограниченного поверхностями .

Решение. Данное тело изображено на рис.12а. Чтобы найти координаты центра масс рассматриваемого тела, воспользуемся формулами (25).

Найдем сначала массу тела. Для этого применим формулу (23) при , так как наше тело однородное. Имеем:

(это интеграл мы вычисляли в предыдущем примере).

Вычислим теперь статические моменты Mxy, Mxz, Myz рассматриваемого тела относительно координатных плоскостей. Для этого воспользуемся формулами (24) при . Имеем: