Высшая математика (стр. 7 )

Задание 3. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Выясним поведение данного ряда с помощью предельного признака сравнения. Сравним данный ряд с рядом  (это - гармонический ряд, который расходится). Имеем:

и, следовательно, ряды  и данный ведут себя одинаково. Таким образом, по предельному признаку сравнения исследуемый ряд расходится.

Задание 4. Исследовать на сходимость ряд .

 

Решение. Применим к данному ряду признак Даламбера. Имеем:

 и

Тогда . Следовательно, по признаку Даламбера данный ряд сходится.

Задание 5. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Применим к данному ряду признак Коши. Имеем:

,

и, следовательно, в силу признака Коши данный ряд сходится.

Задание 6. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Применим к данному ряду интегральный признак Коши. Имеем:

,

что означает, что члены данного ряда убывают. В качестве функции f(x) возьмем функцию , . Эта функция положительная, непрерывная и убывает в области определения, причем. Рассмотрим несобственный интеграл

Следовательно, несобственный интеграл расходится. Тогда в силу интегрального признака Коши расходится и данный ряд.

Задание 7. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Данный ряд является знакочередующимся. Ряд, составленный из абсолютных величин  эквивалентен ряду . Последний ряд расходится, следовательно, расходится и ряд, составленный из абсолютных величин исходного ряда. Таким образом, если исходный ряд и сходится, то только условно.

Для исследования исходного ряда на условную сходимость применим к нему признак Лейбница. Имеем:

1)  и очевидно, что

2)

Следовательно, условия признака Лейбница выполнены. Таким образом, исходный ряд сходится условно.

 

2.2. Степенные ряды

Ряд, члены которого являются функциями переменной x, т.е. ряд вида

u1(x) + u2(x) + … + un(x) + …

называется функциональным рядом.

Степенной ряд – это функциональный ряд вида

, (18)

где c0, c1,…,cn,… - числа, называемые коэффициентами степенного ряда. Говорят, что степенной ряд (18) сходится в точке x*, если сходится числовой ряд

;

при этом x* называют точкой сходимости ряда (18), а совокупность всех точек сходимости называют областью сходимости данного ряда.

Теорема (об области сходимости степенного ряда). Если для степенного ряда (18) с коэффициентами , существует , то:

1)    ряд (18) сходится во всех точках x, для которых |x-x0|<R;

2)    ряд (18) расходится во всех точках x, для которых |x-x0|>R;

3)    в точках х, для которых |x-x0|=R, теорема не дает ответ на вопрос о сходимости ряда (18).

Число  называют радиусом сходимости, а интервал |x-x0|<R -интервалом сходимости степенного ряда (18).

Замечание. В области сходимости по отношению к степенным рядам справедливы все правила действий с многочленами. В частности, их можно складывать, умножать на число, дифференцировать, интегрировать.

Задание 1. Найти область сходимости степенного ряда .

Решение. Сначала найдем радиус сходимости данного ряда:

.

Следовательно, по теореме об области сходимости степенного ряда, для всех х, удовлетворяющих условию -1<x<1, данный ряд сходится; для всех х, удовлетворяющих условию х<-1 или x>1, данный ряд расходится. Исследуем сходимость нашего ряда при х = -1 и x=1.

1. Рассмотрим точку х = -1 и подставим значение х = -1 в выражение данного ряда. Получим числовой ряд

.

Этот ряд является знакочередующимся рядом, который удовлетворяет условиям признака Лейбница. Следовательно, он сходится, а потому сходится и данный ряд при х = -1.

2. Рассмотрим  точку х = 1 и подставим значение х = 1 в выражение данного ряда. Получим числовой ряд

.

Это - гармонический ряд. Следовательно, он расходится, а потому расходится и данный ряд при х = 1.

Таким образом, областью сходимости данного степенного ряда является промежуток .

2.3. Ряды Тейлора

Рядом Тейлора для данной функции f(x) в окрестности точки x0 называется степенной ряд, коэффициенты которого определяются формулой:

, n=0, 1, …

Таким образом, ряд Тейлора – это ряд вида:

(19)

В частном случае, если x0=0, ряд Тейлора (19) называют рядом Маклорена.

Теорема (критерий представимости функции рядом Тейлора). Для того, чтобы функцию f(x) можно было представить в окрестности точки x0 рядом Тейлора:

, (20)

необходимо и достаточно, чтобы остаточный член формулы Тейлора

стремился к нулю при , т.е. .

Замечание. При решении многих задач рекомендуется пользоваться следующими разложениями:

1) ; (21)

2) ; (22)

3) ; (23)

4) ; (24)

5) ; (25)

6) (26)

Задание 1. Вычислить интеграл  с точностью до 0,001.

Решение. Воспользуемся разложением (23).

 

Имеем

.

Следовательно,

Вычислим несколько последовательных первых членов полученного знакочередующегося ряда (с одним лишним знаком после запятой):

Согласно свойству знакочередующегося сходящегося ряда, ошибка вычислений, совершаемая при отбрасывании членов ряда, не превосходит по абсолютной величине первого из отброшенных членов. Следовательно, для вычисления данного интеграла с точностью 0,001 достаточно взять сумму трех первых членов ряда. Таким образом, получаем