Высшая математика (стр. 8 )

.

2.4. Ряды Фурье

Функциональный ряд вида

называется тригонометрическим рядом. Постоянные числа a0, an и bn (n=1,2,...) называются коэффициентами тригонометрического ряда.

Рядом Фурье для функции f(x) на промежутке  называется тригонометрический ряд:

, (27)

коэффициенты которого определяются формулами:

(28)

В общем случае, рядом Фурье для функции f(x) на промежутке [a,a+T] называется тригонометрический ряд:

, (29)

коэффициенты которого определяются формулами:

(30)

Функция f(x) называется кусочно-монотонной на промежутке [a,a+T], если она имеет на данном промежутке конечное число участков монотонности.

Функция f(x) называется кусочно-непрерывной на промежутке [a,a+T], она имеет на данном промежутке конечное число точек разрыва и все они 1-го рода.

Теорема Дирихле (достаточный признак представимости функции рядом Фурье). Если функция f(x) кусочно-монотонна и кусочно-непрерывна на промежутке [a,a+T], то для  ряд Фурье (29), составленный для функции f(x) на [a,a+T], сходится, причем:

1)    в точках непрерывности функции f(x) сумма S(x) ряда Фурье равна значению функции в точке x : S(x) = f(x);

2)    в точках разрыва функции f(x) сумма S(x) ряда Фурье вычисляется по формуле:

,

где f(x-) и f(x+) – это соответственно левосторонний и правосторонний пределы функции f(x) в точке x;

3)    на концах промежутка [a,a+T] сумма S(x) ряда Фурье вычисляется по формуле:

Задание 1. Разложить функцию  в ряд Фурье на промежутке .

Решение. В нашем случае . Следовательно, по формулам (30) имеем:

Подставляя значения коэффициентов a0, ak, bk, k=1,2,3,… в (29), получим разложение данной функции  в ряд Фурье на промежутке :

.

Это разложение справедливо . На концах промежутка, те в точках x = 0 и , сумма полученного ряда равна .

ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Контрольная работа № 7

Кратные интегралы.

 Криволинейные и поверхностные интегралы.

Векторный анализ

Задание 1. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями. Сделать чертеж.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

Задание 2. Найти объем тела, ограниченного данными поверхностями. Сделать чертежи данного тела и его проекции на плоскость Oxy.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

 8. .

9. .

10. .

 

Задание 3. Вычислить криволинейные интегралы 2-го рода, взятые вдоль данных кривых.

1. , где L - кривая x=t, y=t2, z=t3, .

2., где L - виток винтовой линии x=cost, y=sint, z=t, .

3., где L - виток конической винтовой линии x=etcost, y=etsint, z=et от точки А(0,0,0) до точки В(1,0,1).

4. , где L - отрезок прямой ОС от точки О(0,0,0) до точки С(1,1,1).

5. , где L - ломанная ОАВС, соединяющая точки О(0,0,0), А(1,0,0), В(1,1,0), С(1,1,1)

6. , где L - верхняя половина эллипса x=5cost, y=4sint, .

7. , где L - отрезок прямой АВ от точки А(1,2) до точки В(3,6).

8. , где L - граница треугольника АВС с вершинами А(2,0), В(2,2), С(0,2).

9. , где L - дуга окружности x=3cost, y=3sint, от точки А(3,0) до точки В(0,3).

10. , где L - виток винтовой линии x=3cost, y=3sint, z=4t, .

 

Задание 4. Вычислить следующие поверхностные интегралы 1-го рода. Сделать чертежи данной поверхности и ее проекции на плоскость Oxy.

1. , где S - поверхность .

2. , где S - граница тела .