Высшая математика (стр. 4 )

,

,

Вычислив полученные тройные интегралы, имеем:

Mxy=16/105,

Mxz=24/105,

Myz=0.

Следовательно, координаты центра масс данного тела равны:

.

1.4. Криволинейные интегралы (2-го рода)

Пусть функции  определены на дуге MN кривой L. Разобьем дугу MN  произвольным образом на n частей точками M=A0, A1,…, An =N, где Ai=Ai(xi,yi,zi), i=0,1,…,n. Полученные дуги Ai-1Ai, i=1,…,n назовем элементарными дугами. В каждой из них произвольным образом выберем по точке , i=1,…,n, которые назовем точками пунктуации. Введем обозначения:

и составим выражение

, (27)

которое называется интегральной суммой Римана для данных функций по дуге MN. Заметим, что выражение (27) зависит от способа разбиения дуги MN на элементарные дуги и от способа выбора точек пунктуации.

Если существует предел выражения (27) при  и если этот предел не зависит ни от способа разбиения дуги MN на элементарные дуги, ни от способа выбора точек пунктуации, то он называется криволинейным интегралом 2-го рода по дуге MN и обозначается

.

Следовательно, по определению

(28)

Свойства криволинейных интегралов 2-го рода аналогичны свойствам определенных интегралов.

Теорема (о вычислении криволинейных интегралов 2-го рода). Пусть даны параметрические уравнения дуги MN:

,

где  и пусть функции x(t), y(t), z(t) имеют непрерывные производные. Тогда:

(29)

Задание 1. Вычислить интеграл

где линия L - отрезок OA с концами в точках  O(0,0,0), A(3,6,9).

Решение. Составим параметрические уравнения отрезка OA:

Тогда по формуле (29) имеем:

1. 5. Поверхностные интегралы (1-го рода)

Пусть функция u=f(x,y,z) определена и непрерывна на поверхности S пространства Oxyz. Разобьем поверхность S произвольным образом на n частей: S1, S2,…, Sn , которые назовем  элементарными областями. В каждой из элементарных областей произвольным образом выберем по точке , которые назовем точками пунктуации. Обозначим через , i=1,…,n площадь i-ой элементарной области, . Составим выражение

, (30)

которое называется интегральной суммой Римана для функции u=f(x,y,z) по поверхности S. Заметим, что выражение (30) зависит от способа разбиения поверхности S на элементарные области и от способа выбора точек пунктуации.

Если существует предел выражения (30) при и если этот предел не зависит ни от способа разбиения поверхности S на элементарные области, ни от способа выбора точек пунктуации, то он называется поверхностным интегралом 1-го рода от функции u=f(x,y,z) по поверхности S  и обозначается

.

Таким образом,

(31)

Свойства поверхностных интегралов 1-го рода аналогичны свойствам двойных интегралов.

Теорема (о вычислении поверхностных интегралов 1- го рода).

Пусть поверхность S задана в явном виде уравнением , где , D - область плоскости Oxy и пусть функция  имеет непрерывные частные производные первого порядка. Тогда справедлива формула:

(32)

Задание 1. Вычислить интеграл

,

где S - полусфера, задаваемая уравнением .

Решение. Рассматриваемая поверхность S задана в явном виде: , где  - круг радиуса R=1 (рис.11). Для вычисления данного интеграла воспользуемся формулой (32). Имеем:

Перейдем в полученном двойном интеграле к полярной системе координат:

Так как значение первого интеграла , то и весь интеграл равен нулю.

1.6. Элементы теории векторного поля

Пусть в области T трехмерного пространства задано векторное поле: .

Основными операциями данного поля  являются дивергенция и  ротор . В декартовых координатах:

, (33)

(34)

Потоком векторного поля  через выбранную сторону поверхности S называется поверхностный интеграл 1-го рода по поверхности S от функции:

где - орт нормали к выбранной стороне поверхности S:

(35)

Теорема Гаусса-Остроградского (о вычислении потока векторного поля).

Пусть в некоторой замкнутой пространственной области T, ограниченной поверхностью S, задано векторное поле, где функции Ax(M), Ay(M), Az(M) имеют непрерывные частные производные. Тогда имеет место формула:

(36)

Интегралом типа работы векторного поля

по линии L называется криволинейный интеграл 2-го рода вида:

(37)

Теорема Стокса (о вычислении циркуляции векторного поля).

Пусть на поверхности S и ее границе L задано векторное поле

,