Эксплуатация испытательных комплексов ракетно-космических систем (стр. 35 )

 

Тогда по теореме умножения вероятности, получим

 

H = P{ρ1 > 0} P{ρ2 > 0 / ρ1 > 0}. (6.3)

 

Для случая независимых элементов выражение (6.3) упростится:

 

H = P{ρ1 > 0} P{ρ2 > 0} = h1,) h2 ,

 

где hi = P{ρi > 0} – надежность i-го элемента системы.

Если элементы зависимы, то для оценки надежности системы необходимо вычислить условную вероятность

 

P{ρ2 > 0 / ρ1 > 0}.

 

Рассмотрим определение этой вероятности для случая линейно зависимых элементов (рис. 6.5)

ρ2 = aρ1 + b.

 

 

Как видно из графика, при ρ1 > 0 значения ρ2 будут всегда положительны. Таким образом, условная вероятность P{ρ2 > 0 / ρ1 > 0} будет равна единице, как вероятность достоверного события. Отсюда имеем

 

H = P{ρ1 > 0} = h1. (6.4)

 

Для зависимости, представленной на рис.6.5, в случае отказа первого элемента (ρ1 < 0) второй элемент на участке изменения α < ρ1 < 0 еще не утрачивает свою работоспособность, то есть ρ2 > 0.

Следовательно, второй элемент имеет более высокую надежность. Поэтому соотношение (6.4) можно представить в виде

 

H = min {h1, h2}.

 

Знание уровней надежности систем для двух рассмотренных случаев позволяет записать следующую оценку:

 

h1, h2 ≤ H ≤ min {h1, h2}.

 

Аналогичные соотношения можно получить для системы с произвольным числом элементов n:

 

(6.5)

 

где hi – надежность i-го элемента системы.

Равенство справа выполняется в случае линейной зависимости элементов (r = 1), Нижняя оценка является точной для системы с независимыми элементами (r = 0).

При промежуточных значениях коэффициента корреляции r надежность лежит внутри диапазона (6.5). Проследим характер изменения Н в зависимости от коэффициента корреляции на простейшем примере.

Рассмотрим систему, состоящую из двух равнонадежных элементов h1 = h2 = h0, функции работоспособности которых подчинены нормальному закону распределения.

График изменения относительной надежности такой системы  в зависимости от r для различных значений h0 представлен на рис.6.6.

 

 

Как видно из графика, с увеличением r надежность системы растет и при r = 1 достигает максимального значения, равного надежности одного элемента.

Для независимых элементов (r= 0) с увеличением числа элементов надежность будет падать. Поэтому при проработке проектно-конструкторских решений стремятся либо к наиболее простым решениям, при которых минимизируется число элементов, либо к решениям, обеспечивающим условия линейной зависимости элементов.

Система относится к классу систем с параллельным соединением элементов, если отказ системы происходит только при отказе всех элементов, входящих в ее состав.

Условно такие системы изображаются в виде параллельной цепочки элементов (рис. 6.7). Следовательно, при отказе одного элемента его задачу выполняют оставшиеся, и система откажет только при отказе всех элементов в составе системы. Очевидно, к рассмотренному классу относятся резервные системы.

 

Рис. 6.7. Параллельное соединение элементов

 

В дальнейшем рассмотрим методы расчета надежности систем с параллельным соединением элементов. Для упрощения выкладок проведем анализ работоспособности простейшей системы из двух элементов. Согласно данному выше определению, отказ такой системы происходит, когда отказывают оба элемента (и первый, и второй). Таким образом, вероятность отказа Q определяется вероятностью совместного выполнения неравенств

 

ρ1 < 0 и ρ2 < 0,

 

т. е. Q = P{ρ1 < 0; ρ2 < 0}.

Применяя теорему умножения вероятности, получим

 

Q = P{ρ2 < 0}P{ρ1 < 0 / ρ2 < 0}.

 

Очевидно, для независимых элементов соотношение примет вид

 

Q = P{ρ1 < 0}P{ρ2 < 0} = (1 – h1)(1 – h2),

 

где h1 = P{ρ1 > 0}; h2 = P{ρ2 > 0}.

Отсюда надежность системы будет равна

 

H = 1 – Q = 1 - (1 – h1)(1 – h2).

 

Если элементы зависимы, для оценки надежности необходимо вычислять условные вероятности P{ρ1 < 0 / ρ2 < 0}. Рассмотрим определение этой вероятности для случая линейно зависимых элементов.

Как видно из графика, при ρ2 < 0 значения всегда отрицательны. Следовательно, условная вероятность P{ρ1 < 0 / ρ2 < 0} будет равна единице как вероятность достоверного события. Отсюда

 

Q = P{ρ2 < 0} = 1 – h2.

 

Как было показано выше, второй элемент имеет максимальную надежность. Поэтому соотношение можно записать так:

 

Q = 1- max {h1, h2}.

 

Отсюда

 

Н = 1 – Q = max {h1, h2}.

 

Полученные выше результаты позволяют записать следующую интервальную оценку

 

(6.6)

 

Равенство справа выполняется в случае независимости элементов (r = 0). Нижняя оценка является точной для системы с линейно зависимыми элементами (r = 1). При промежуточных значениях коэффициента корреляции надежность лежит внутри диапазона (6.6). Равенство справа используется для оценки надежности систем с “горячим" резервированием.

“Горячее” резервирование – резервирование с постоянным включением резервных элементов (см. рис. 6.7).

Такое резервирование возможно, когда подключение резервного элемента несущественно изменяет рабочий режим устройства. Достоинством такого резервирования является постоянная готовность резервного элемента. Безотказность схемы в этом случае определяется по формуле

 

H = 1 – (1 – h)n , (6.7)

 

где h – надежность одного устройства, n – число резервных элементов с учетом основного.

В общем случае в системе наряду с параллельными могут быть и последовательные соединения элементов. Для оценки надежности такой системы следует условно расчленить ее на ряд узлов, содержащих только параллельные или только последовательные соединения; затем условно выделить подсистемы, в которых узлы соединены последовательно или параллельно; для каждого из узлов, а затем и подсистем найти надежность по соответствующим формулам в зависимости от порядка соединения элементов в узлах и узлов в подсистемах. Надежность системы можно определить в зависимости от соединения подсистем.

Пример. Система S состоит из 9 элементов Э1, Э2,…, Э9, соединенных как показано на рис. 6.8. Надежности элементов составляет Р1, Р2, … и Р9. Найти надежность системы S.

 

Рис. 6.8. Структурная схема надежности

 

Р е ш е н и е. Условно выделяем узлы с последовательным соединением элементов. Такими будут II, IV, V. Для них по формуле (6.5) находим надежности РII = Р4Р5; РIV = Р6Р7; РV = Р8Р9.

Узел I c параллельным соединением элементов Э2 и Э3 согласно формуле (6.6) имеет надежность: РI = 1 – (1 – Р2)(1 – Р3).

Подсистема III с последовательным соединением элемента Э1 и узлов I и II обладает надежностью: РIII = Р1РIРII.

Подсистема VI с параллельным соединением узлов IV и V имеет надежность: РVI = 1 – (1 – PIV)(1 – PV).

Система S из параллельно соединенных узлов III и VI имеет надежность: Р = 1 – (1 – РIII)(1 – PVI).

Для иллюстрации рассмотренного подхода на рис. 6.9 представлена ПГС и соответствующая ей структурная схема надежности ДУ разгонного блока “Аджена” [5].

Рис. 6.9. Пневмогидравлическая схема и структурная схема надежности двигателя разгонного блока “Аджена”:

1- насос горючего (НГ); 2 - насос окислителя (НО); 3, 8, 18 - фильтры (Ф);

4 - коробка передач (КП); 5 - турбина (Т); 6- клапан окислителя (КО);

7, 13, 16- прорывные мембраны (М); 9 - пироклапан (ПК); 10- реле давления(РД); 11- камера сгорания ( КС ), 12 - клапан горючего ( КГ ),