Эксплуатация испытательных комплексов ракетно-космических систем (стр. 37 )

(6.15)

 

где f(t) – плотность распределение времени до отказа.

Для экспоненциального закона соотношение (6.15) примет вид

 

(6.16)

 

Данные результаты показывают, что при знании интенсивности отказа λ нахождение основных показателей надежности не представляет особого труда. Значения λ определяются статистически и приводятся в соответствующих справочниках.

Общая теория надежности позволяет прогнозировать надежность различных изделий уже на этапе их проектирования, т. е. до изготовления готовых образцов. Она основывается на анализе функционирования изделия и выявлении условий его отказа. Согласно этой теории, в рассмотрение вводится функция работоспособности изделия ρ(t), с помощью которой записывается условие работоспособности, выполнение которого гарантирует безотказность изделия.

В наиболее общих случаях функция работоспособности является векторной функцией. При этом под условием работоспособности понимаются принадлежность этой функции некоторой области допустимых значений Д:

 

 

После определения условия работоспособности надежность изделия оценивается по соотношению

 

 

Как показывают результаты исследований, оценку вероятности наиболее просто удается определить только в тех случаях, когда функция работоспособности является случайной величиной. Для случайных функций (даже одномерных) расчет можно произвести только для узких классов случайных процессов. В частности, даже для стационарных, нормальных процессов определить эту вероятность не удается. Поэтому для практических приложений используется приближенное соотношение, дающее достаточно хорошую точность для высоконадежных систем:

 

 

где M{N} – среднее число пересечений допустимой области; μ(t) – среднее число пересечений допустимой области в единицу времени.

В заключение заметим, что для высоконадежных систем величина μ(t) может быть использована для оценки λ(t). Действительно, согласно формальной теории надежности имеем

(6.17)

 

Разлагая экспоненту в ряд Тейлора и ограничиваясь линейным членом, получим

 

(6.18)

 

Сравнение соотношений (6.17) и (6.18) показывает, что можно приближено принять

λ(t) ≈ μ(t).

 

При этом надо помнить, что физический смысл этих параметров совершено различный.

Сложность аналитического представления для μ(t) ограничивает возможность использования этого подхода.

Существенное упрощение расчетов как в одномерном, так и в многомерном случае дает переход от случайных процессов к случайным величинам. Это оказывается возможным, когда будут найдены моменты времени, соответствующие наиболее тяжелым условиям работы изделия. При этом функция работоспособности анализируется не для всего периода функционирования изделия, а в определенные известные моменты времени. Таким образом, условия работоспособности запишутся в виде

(6.19)

 

где ρi(ti) – некоторые случайные величины.

Тогда надежность изделия, оцениваемая вероятностью выполнения условия (6.19), будет равна

 

, (6.20)

 

где f(ρ1… ρn) – совместная плотность распределения случайных величин ρ1, ρ2,…, ρn.

Величина Н может быть вычислена по соотношению (6.20), если известен конкретный вид плотности распределения f(ρ). Для нормального закона распределения, в одномерном случае, соотношение (6.20) примет вид

 

(6.21)

 

К сожалению, интеграл (6.21) не выражается аналитически, и его для каждого конкретного случая надо вычислять. Чтобы упростить расчеты, целесообразно перейти к нормированным случайным величинам u, имеющим нулевое математическое ожидание и единичную дисперсию. Этот переход может быть осуществлен с помощью следующих эквивалентных преобразований:

 

 

 

Отсюда

(6.22)

 

где V = - mρ / σρ , F*{V} – функция нормированного нормального распределения.

Интеграл (6.22), задающий функцию F*{V}, тоже неберущийся, однако, он зависит только от одного параметра V. Значения функции F*{V} для разных V подсчитаны численным методом и сведены в таблицы [33].

Таким образом, при оценке надежности достаточно вычислить параметр V = - mρ/σρ и определить по таблицам соответствующую величину функции F*{V}.

 

6.3. Методы подтверждения надежности ДУ по результатам испытаний

6.3.1. Подтверждение надежности по испытаниям

типа  “успех-отказ”

Расчетные соотношения для оценки надежности будут определяться особенностями функционирования объекта испытаний и возможностями измерительных средств. В одних случаях в процессе отработки фиксируется только факт отказа или успешного функционирования изделия, в других – в каждом испытании производят измерение целой группы параметров, характеризующих работоспособность ДУ.

В дальнейшем рассмотрим следующие схемы испытаний:

- испытания типа “успех-отказ”;

- испытания с измерением параметров работоспособности;

- испытания с измерением времени безотказной работы.

При проведении испытаний по первой схеме (схеме “отказ-успех”) в качестве точечной оценки надежности принимается вероятность безотказного функционирования изделия, рассчитываемая по соотношению

 

Ĥ = d / k,

где k – общее число испытаний, d – число безотказных испытаний.

При ограниченных объемах испытаний эта оценка не даст гарантированный результат. В частности, при проведении безотказных испытаний (k = d) точечная оценка будет равна 1 для всех k, в том числе и для k = 1. Очевидно, доверие к этой оценке мало. Поэтому для получения гарантированного результата необходимо переходить к интервальным оценкам. Согласно определению доверительного интервала, имеем

 

Р = { |Ĥ - Н| < ε } = γ .

 

При подтверждении надежности нас, в основном, интересует вероятность того, что истинное значение надежности Н будет не ниже некоторого уровня Нн, т. е.

 

Р = {Нн < Н} = γ.

 

Это соотношение определяет одностороннюю нижнюю границу Нн. Можно показать, что односторонняя нижняя граница Нн является корнем уравнения

(6.23)

 

Для упрощения расчетов по соотношениям (6.23) были рассчитаны таблицы [33], позволяющие по заданным значениям d, k и γ определять значения Нн , являющиеся корнями уравнения (6.23).

Границы доверительного интервала для некоторых ракет-носителей представлены на рис.6.12.

Аналитическое решение для Нн удается получить только в случае безотказных испытаний. Тогда, полагая d = k, из соотношения (6.23) получим

 

Нк = 1 – γ.

 

Отсюда

НН = к√1 – γ. (6.24)

 

 

 

 

Результаты расчета показывают, что для подтверждения высоких уровней надежности Н требуется очень большое число испытаний. Для примера ниже в табл. 6.1 представлены объемы испытаний k и соответствующие им значения нижней границы НН при безотказных испытаниях (γ = 0,95).

Таблица 6.1

Объемы испытаний и нижняя граница Нн безотказной работы

K	10	100	1000	104
НН	0,74	0,97	0,997	0, 9997

 

Проведение большого количества испытаний для целого ряда уникальных дорогостоящих объектов не представляется возможным. Для указанных систем объем испытаний, как правило, предопределен возможностями технологической базы, стоимостью или сроками отработки. В связи с этим возникает задача подтверждения высоких уровней надежности при малом числе испытаний, рассматриваемая ниже.