Эксплуатация испытательных комплексов ракетно-космических систем (стр. 40 )

В предположении нормального закона распределения (k) получим

(6.34)

 

С учетом соотношений (6.28) и (6.31) соотношение (6.34) примет вид

 

(6.35)

 

 

где

 

Очевидно, величина Рк(А) характеризует вероятность подтверждения заданного уровня надежности изделия и может рассматриваться как уровень доверительной вероятности подтверждения надежности.

Тогда задание определенного уровня доверия γ позволяет по соотношению

 

Рк(А) = γ

 

определить уровни надежности изделия, подтверждаемые после проведения k испытаний.

С учетом (6.35), получим

 

где tγ = argF*{γ}.

Решая это соотношение относительно ηзад , найдем

 

Знание ηзад позволяет оценить прогнозируемые уровни надежности, подтверждаемые по каждому параметру после проведения k испытаний

6.3.3. Подтверждение надежности систем при экспоненциальном законе наработки на отказ

 

В случае экспоненциального закона распределения надежность можно оценить по соотношению

 

h = e-λt,

 

где λ – интенсивность отказа; t – требуемое время работы.

Точечная оценка надежности может быть рассчитана по соотношению

 

 

где ti – продолжительность i-го испытания до отказа; k – число испытаний (полных реализаций).

Точечная оценка надежности является случайной величиной и не дает гарантированный результат. Поэтому при решении вопросов обеспечения надежности в качестве гарантированной оценки рассмотрим нижний предел доверительного интервала вероятности безотказной работы:

 

где mНt – нижняя граница доверительного интервала для математического ожидания времени безотказной работы.

Согласно определению величина mНt удовлетворяет соотношению

 

(6.36)

 

где mt – математическое ожидание времени безотказной работы;  - принятый уровень доверительной вероятности.

Представим

 

где β – корректировочный множитель, обеспечивающий выполнение соотношения (6.36).

После эквивалентных преобразований соотношение (6.36) можно представить в виде

 

 

Как известно, случайная величина подчиняется χ2 – распределению с 2k степенями свободы, т. е.

 

где χγ2 – квантиль χ2 – распределения по уровню γ [33].

Следовательно,

 

Отсюда

 

Таким образом, выражение для нижней границы mHt примет вид

(6.37)

 

Аналогично можно получить выражение для верхней границы доверительного интервала

 

Приравнивая выражения для верхней и нижней границ заданному значению времени работы tзад и разрешая полученное соотношение относительно , получим выражения для нижней и верхней граничных кривых, определяющих области отработки элемента:

 

(6.38)

 

Величина tзад определяется из условия удовлетворения требований к надежности устройства

 

Отсюда

 

 

Характер изменения граничных кривых по числу испытаний для γ = 0,95 и задаваемые ими области отработки представлены на рис 6.14.

Согласно графику рис. 6.14 попадание в верхнюю область “П” характеризует подтверждение надежности, так как для нее выполняется цепочка неравенств

 

Соответственно, попадание в нижнюю область “Д” показывает невыполнение требований, предъявляемых к надежности изделия, т. е.

 

tзад > mHt > mt.

 

При нахождении в средней области “И” никакого заключения сделать нельзя и испытания следует продолжить.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 6.14. Области отработки системы

 

Рассмотренная выше модель может быть использована для прогнозирования изменения надежности в процессе проведения экспериментальной отработки. Действительно, условие подтверждения надежности можно представить в виде

 

Тогда гарантией подтверждения надежности будет являться выполнение условия

или

 

После преобразования получим

 

Отсюда

(6.39)

 

Подставляя (6.38) в выражение (6.39) и разрешая последнее относительно mt, получаем

 

где

 

С учетом полученных результатов надежность устройства можно представить в виде

 

(6.40)

 

Отношение фактически характеризует коэффициент временного запаса (временной избыточности) устройства. Величина η закладывается на этапе проектных разработок либо путем введения резервирования отдельных элементов, либо путем принятия соответствующих конструкторских решений.

Зависимость подтверждаемого уровня надежности hН от числа испытаний для γ = 0,95 и различных уровней η представлена на рис. 6.15.

Как видно из графика, для получения приемлемых оценок надежности при ограниченных объемах испытаний требуется обеспечить высокие уровни коэффициента временного запаса . Например, при выполнении программы квалификационных испытаний ЖРД F-1 РН “Сатурн-5” суммарная наработка на каждый экземпляр двигателя составила 35700 с [13]. При полетном времени работы 160 с имеем

Тогда для подтверждения надежности  потребуется примерно 15 двигателей (см. оценку на рис. 6.13 для 2k=30).