Программа элективного предмета по математике для учащихся 10 класса (стр. 2 )

Уравнение, как общематематическое понятие, многоаспектно, причём ни один из аспектов нельзя исключить из рассмотрения, особенно если речь идёт о проблемах школьного математического образования.

Ввиду важности и обширности материала, связанного с понятием уравнения, его изучение в современной методике математики организовано в содержательно-методическую линию уравнений. Здесь рассматриваются вопросы формирования понятия уравнений, общих и частных методов их решения, взаимосвязи изучения уравнения с числовой, функциональной и другими линиями школьного курса математики.

III.Методы решения уравнений.

Метод разложения на множители.

Пример 1. Решить уравнение способом разложения левой части на множители x3 + x2 – 4x – 4 = 0.

Решение.

Разложим левую часть уравнения на множители

x2 (x + 1) – 4 (x + 1) = 0,

(x + 1)(x2 - 4) = 0,

(x + 1)(x + 2)(x – 2) = 0,

x = - 1, x = 2.

Ответ. – 1, 2.

Пример 2. Решите уравнение 28x3 + 3x2 +3x + 1 = 0.

Решение.

27x3 + x3 + 3x2 +3x + 1 = 0,

(3x)3 + (x + 1)3 = 0,

(3x + x + 1)((3x)2 – 3x(x + 1) + (x + 1)2) = 0,

(4x + 1)(7x2 – x + 1) = 0,

4x + 1 = 0 или 7x2 – x + 1 = 0,

x1 = - D = - 27, D < 0, действительных корней нет. Найдём

комплексные корни данного уравнения.

x2,3 = .

Ответ. - .

Пример 3. Решите уравнение x4 – x3 + x2 + x – 2 = 0.

Решение.

Для нахождения решений этого уравнения, квадратный трёхчлен

p(x) = x2 + x – 2, образованный последними тремя слагаемыми в левой части равенства, разложим на линейные множители, получим:

p(x) = x2 + x – 2 = (x + 2)(x – 1), где x1 = - 2, x2 = 1 – корни квадратного трёхчлена p(x).

Уравнение принимает вид

x3(x – 1) +(x + 2)(x – 1) = 0,

(x – 1)(x3 + x + 2) = 0.

Последнее уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

x – 1 = 0 и x3 + x + 2 = 0.

Отсюда получим решение x1 = 1, x2 = - 1.

Ответ.

Метод введения новых переменных.

Пример 4. Решите уравнение (x2 + x – 1)(x2 + x + 2) = 40.

Решение.

Пусть x2 + x = t, то уравнение примет вид (t – 1)(t + 2) = 40,

t2 + t – 42 = 0,

t1 = 6, t2 = - 7.

Возвращаясь к прежним обозначениям, получим:

x2 + x = 6 или x2 + x – 6 = 0,

x2 + x = - 7 или x2 + x + 7 = 0.

Решая каждое из этих уравнений, получаем корни

x1 = - 3; x2 = 2; x3,4 = .

Ответ. – 3; 2;.

Пример 5. Решите уравнение x4 – 5x2 + 4 = 0.

Решение.

Пусть x2 = a, тогда a2 – 5a + 4 = 0, a1 = 1, a2 = 4.

Имеем: x2 = 1, x2 = 4,

x = , x = .

Ответ. .

Пример 6. Решите уравнение 25x4 – 100x3 – 106x2 – 100x + 25 = 0.

Решение.

Очевидно, что x = 0 корнем данного уравнения четвёртой степени не является. Разделим обе части данного уравнения на x2 .

Получим:

25x2 – 100x – 106 - + = 0,

25(x2 + ) – 100(x + ) – 106 = 0.

Введём замену x + = a, тогда (x + )2 = a2,

x2 + + 2 = a2,

x2 + = a2 – 2.

Получим 25(a2 – 2) – 100a – 106 = 0,

25a2 – 100a – 156 = 0,

a1 = ; a2 = - .

Выполняем обратную замену x + = ; x + = - .

Решая каждое уравнение в отдельности, получаем следующие корни 5; ; - 1.

Ответ. 5; ; - 1.

Функционально-графический метод.

В школьном курсе математики вопрос о графическом решении уравнений не может быть раскрыт в полной мере, поэтому приходится ограничиваться решением наиболее простых алгебраических уравнений.

Пример 7. Решить графическим способом уравнение x3 – 2x + 1 = 0.

Решение.

Преобразуем уравнение к виду x3 = 2x – 1 и построим графически функции y = x3 и y = 2x – 1.

Замечаем, что графики имеют две общие точки (1;1) и (- 1,5; - 3,3).

Ответ. 1; - 1,5.

Замечание.

К достоинствам графического способа решения уравнений относятся наглядность и возможность быстрой «прикидки» результата. Недостатком же этого метода является неточность результата, возможности пересечения графиков уравнений за пределами чертежа и использование разных масштабных отрезков на осях OX и OY. Хотя злоупотреблять этим методом нельзя.

IV.  Домашнее задание.

1.  Решите уравнения:

а) x3 – 6x2 + 5x + 12 = 0, б) x4 – 2x3 + 2x2 + 4x - 8 = 0.

2.  Решите графически уравнение x4 – 7x2 + 6x = 0.

Занятие 2.

Тема. Биквадратные уравнения.

Цели занятия.

1.  Углубить знания по теме.

2.  Развивать логическое мышление обучающихся.

Ход занятия.

I.  Организация группы.

II.  Объяснение.

Определение. Биквадратным уравнением называется уравнение вида

ax4 + bx2 + c = 0, где a.

Для решения биквадратных уравнений используют подстановку x2 = y, затем необходимо найти корни y1 и y2 квадратного уравнения ay2 + by + c = 0 и решать уравнения x2 = y1 и x2 = y2. Оба имеют решения в случае, когда y1 (соответственно y2

Замечание.

Заметим, что при условии y1 (соответственно y2 исходное уравнение имеет лишь действительные корни, в противном случае, корни комплексные.

III.  Практическая часть.

Пример 1. Решите уравнение x4 + x2 – 2 = 0.

Решение.

(x2)2 + x2 – 2 = 0.

Это уравнение можно решить заменой x2 = y,

y2 + y – 2 = 0,

y1 = 1, y2 = - 2.

Выполним обратную замену

x2 = 1, x2 = - 2.

x = .

Уравнение x2 = - 2 действительных корней не имеет.

Ответ. .

Пример 2. Решите уравнение t4 + 10t2 + 25 = 0..

Решение.

Это уравнение можно решить, если левую часть свернуть как формулу квадрата суммы, получим:

(t2 + 5)2 = 0,

t2 + 5 = 0,

t2 = - 5.

Это уравнение действительных корней не имеет.

Ответ. Корней нет.

Пример 3. Решите уравнение (2x2 + 3x)2 – 7(2x2 + 3x) = -10.

Решение.

(2x2 + 3x)2 – 7(2x2 + 3x) + 10 = 0.

Замена 2x2 + 3x = y, тогда уравнение примет вид

y2 – 7y + 10 = 0, y1 = 5, y2 = 2.

Возвращаясь к исходной переменной, получаем уравнения

2x2 + 3x = 5; 2x2 + 3x = 2.

Решая уравнения, получим корни 1; - 2,5; 0,5; - 2.

Ответ. 1; - 2,5; 0,5; - 2.

Пример 4. Решите уравнение (t2 – 2t)2 – 3 = 2(t2 – 2t).

Решение.

(t2 – 2t)2 – 2(t2 – 2t) – 3 = 0.

Пусть t2 – 2t = b, тогда уравнение примет вид

b2 – 2b – 3 = 0, b1 = 3 , b2 = - 1.

Выполняя обратную замену, получим:

t2 – 2t = 3; t2 – 2t = - 1,

t1 = 3, t2 = - 1, t3,4 = 1.

Ответ. 3; .

IV.  Задания для самостоятельного решения.

Решите уравнения:

1.  x4 – 6x2 + 8 = 0 (I В)

2.  x4 – 4x2 + 4 = 0 (II В)

3.  2x4 – 9x2 + 4 = 0 (I В)

4.  9x4 – 9x2 + 2 = 0 (II В)

5.  (x2 + 3)2 – 11(x2 + 3) + 28 = 0 (I В)

6.  (x2 – 4x)2 + 9(x2 – 4x) + 2 = 0 (II В)

V.  Домашнее задание.

Решите уравнения:

1.  x4 – 13x2 = 36;

2.  x4 – 4x2 = 0;

3.  x4 – 6x2 + 1 = 0;

4.  x4 – 25x2 + 144 = 0;

5.  3x4 – 75x2 + 432 = 0.

Занятие 3.

Тема. Возвратные уравнения.

Цели занятия.

1.  Углубить знания в решении возвратных уравнений.