Программа элективного предмета по математике для учащихся 10 класса (стр. 8 )

2.  x4 + 4x3 - 25x2 - 16x + 84 = 0.

IV.  Домашнее задание.

Решите уравнения:

1.  6x4 + 25x3 + 12x2 - 25x + 6 = 0;

2.  x4 + x3 - 10x2 + x + 1 = 0;

3.  6x4 + 19x3 - 7x2 - 26x + 12 = 0;

4.  x4 + 4x3 - 2x2 - 12x + 9 = 0.

Занятия 26 - 27.

Тема. Способ Эйлера. Применение схемы Горнера при решении уравнений четвёртой степени.

Цели занятия.

1.  Рассмотреть способ Эйлера решения уравнений четвёртой степени.

2.  При решении уравнений четвёртой степени сравнить схему Горнера с другими способами.

Ход занятия.

I. Организация группы.

II. Объяснение.

В уравнении y4 + ay2 + by + c = 0 положим:
2y = u + v + w ;
обозначим еще:
S = u2 + v2 + w2 , T = v2w2 + w2u2 + u2v2,
имеем:
4y2 = S + (vw + wu + uv);
16y4 = S2 + 4S(vw + wu + uv) + 4T + 8uvw(u + v + w);
подставляя это в (5), получаем:
S2 + 4T +4aS + 16c + S(uvw + b)(u + v + w) + 4(s + 2a)(vw + wu + uv) = 0.

Установим теперь следующие зависимости между u, v, w:
S + 2a = 0, uvw + b = 0, (1)
тогда уравнение y4 + ay2 + by + c = 0 превратится в уравнение:
S2 + 4T + 4aS + 16c = 0,
или подставляя вместо S – 2a [по первому уравнению (1)]:
T = a2 – 4c, (2)
(1) и (2) показывают, что u2, v2, w2 – корни уравнения:
z3 + 2az2 + (a2 – 4c)z – b2 = 0, (3)
легко видеть, что это – то же уравнение, что и 8r3 + 8ar2 + (2a2 – 8c)r – b2 = 0,

именно, z = 2r; если положим:
a0 = – S, или: z = – – a, то получим уравнение 4g3 – g2s – g3 = 0 .
Таким образом уравнения

8r3 + 8ar2 + (2a2 – 8c)r – b2 = 0,

t3 – a2t2+ ( a1a3 – 4a0a4 )t + 4a0a2aaa4 – a0a23 – a12a4 = 0

и (3) линейными подстановками преобразовываются в одно и то же уравнение 4g3 – g2s – g3 = 0, то есть все эти уравнения по своему существу равносильны: решив одно из них, мы тем самым решим и все остальные.

Решив уравнение (3), то есть найдя u2, v2, w2, мы извлечением квадратного корня найдем u, v, w; комбинируя различные знаки у корней, найдем восемь различных комбинаций u, v, w; но из них годны только четыре; именно, второе уравнение (1) дает:
uvw = –b, если u, v, w одна комбинация, удовлетворяющая этому условию, то другие комбинации будут: u, –v, –w, –u, v, –w, –u, –v, w. Итак, получаем:
2y0 = u + v + w,
2y1 = u – v – w,
2y2 = –u + v – w,
2y3 = –u – v + w;
или для корней уравнения a0x4 + a1x3 + a2x2 + a3x + a4 = 0
(4)

Из (4) и (*) выводим:
– = + ; – = + ; – = + . (5)

Пример 1. Решить уравнение x4 – 2x3 + 2x2 + 4x – 8 = 0 методом Эйлера.

Решение

f(z) = z4 – 2z3 + 2z2 + 4z – 8 = 0 (1')

Сначала освободимся от третьей степени неизвестного z подстановкой:
z = x – = x + или x = z – .

Разложим многочлен f(z) по степеням (z – ), используя формулу Тейлора и схему Горнера:

	1	2	2'	4	8
	1	–			= f
	1	–1		5 = f '
	1	–	=
	1	0 =
	1 =

f(z) = + + 5 –

Получили вместо (1') уравнение
x4 + x2 + 5x – = 0 (2')

Формулы Эйлера применимы к любому неполному уравнению
x4 + px2 + qx + r = 0 (3')

Кубическая резольвента для этого уравнения имеет вид:
y3 + 2py2 + (p2 – 4r)y – q2 = 0.

В случае уравнения (2') имеем:
p = , q = 5, r = – , следовательно, кубическая резольвента:
Y(y) = y3 + y 2 + 23y – 25 = 0.

Испытывая делители свободного члена –25, найдем один корень y = 1 резольвенты

	1	1	23	- 25
1	1	2	25	0 =Y(1)

y2 + 2y + 25 = 0,

D = 4 – 100 = –96 < 0 — уравнение не имеет действительных корней.

xy2 = = –1 + 2i,

y3 = –1 – 2i.

Далее находим числа ui = , i = 1, 2, 3.

u1 = = ±1,

u2 = = ±( + i),

u3 = = ±( – i).

Выберем такие значения u1 , u2 , u3 , чтобы было u1·u2·u3 = –q = –5.

Формулы Эйлера для уравнения (3') имеют вид:
x1 = (u1 + u2 + u3),
x1 = (u1 – u2 – u3),
x1 = (–u1 + u2 – u3), u1·u2·u3 = – q, (4')
x1 = (u1 + u2 + u3),

По этим формулам находим корни уравнения (2'):
x1 = (–1 + + i + – i) = – + ,
x2 = (–1 – – i – + i) = – – ,
x3 = (1 + + i – + i) = + i,
x4 = (–1 – – i + – i) = – i.

Тогда исходное уравнение (1') имеет корни:
z1 = x1 + = ,
z2 = x2 + = – ,
z3 = x3 + = 1 + i,
z4 = x4 + = 1 – i.

Ответ. ± ; 1 ± i.

III. Практическая часть.

Решите уравнения:

1.  x4 + 2x3 + 5x2 + 8x + 4 = 0,

2.  x4 – 10x3 + 35x2 - 50x + 24 = 0.

IV. Домашнее задание.

Решите уравнения:

1.  x4 + x2 + 6x - 8 = 0,

2.  x4 –x3 - 10x2 + 2x + 4 = 0,

3.  x4 – 7x3 +14x2 - 7x + 1 = 0,

4.  (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) = 12

Занятие 28.

Тема. Метод Кронекера.

Цели занятия.

1.  Рассмотреть способ решения уравнений четвёртой степени (метод Кронекера).

2.  Сравнить данный метод с другими способами решения уравнений.

Ход занятия.

I. Организация группы.

II. Объяснение.

Решать уравнения четвёртой степени можно методом Кронекера. Приведём пример.

Пример 1. Разложить на множители на Q методом Кронекера или установить неприводимость.

f(x) = x4 – x2 – 2x – 1,

f(x) = q1(x)·q2(x),

q1(x) = x2 + ax + b,

q2(x) = x2 + cx + d.

f(0) = –1, f(–1) = 1.

I II III IV

I Û Û

x4 – x2 – 2x – 1 x2 + x + 1

x4 + x3 + x2 x2 – x – 1

– x3 – 2x2 – 2x – 1 q2(x) = x2 – x – 1,

– x3 – x2 – x q1(x) = x2 + x + 1.

– x2 – x – 1 f(x) = (x2 + x + 1)(x2 – x – 1).

– x2 – x – 1

0

(x2 + x + 1)(x2 – x – 1) = 0,

x2 + x + 1 = 0 или x2 – x – 1 = 0.

D = –3 D = 5

x1,2 = x3,4 =

Ответ. , .

III. Практическая часть.

Решите уравнения:

1.  (x2 + 5x)2 – 2x2 – 10x – 24 = 0,

2.  x4 – x2 + 2x – 1 = 0,

3.  15x4 – 4x3 – 6x2 – 4x – 1 = 0,

4.  x4 + x3 + x + 1 = 4x2.

IV. Домашнее задание.

Решите уравнения:

1.  x4 + x3 – 12x2 = 0,

2.  6x4 + 5x3 - 38 x2 + 5x + 6 = 0,

3.  6x4 + 7x3 - 36 x2 - 7x + 6 = 0,

4.  2x4 - x3 + 4x - 2 = 0

Занятие 29 - 30.

Тема. Графический способ решения уравнений четвёртой степени.

Цели занятия.

1.  Рассмотреть графический способ решения уравнений четвёртой степени.

2.  Обратить внимание обучающихся на аккуратность выполнения графиков.

Ход занятия.

I. Организация группы.

II. Объяснение.

Решать уравнения четвертой степени можно также, используя графики.

Пусть дана функция y = ax4 + bx3 + cx2 + dx + m, где a ¹ 0. (1)

Приведем исследование этой функции.

Данная функция определена для всех x Î R и в общем случае не является четной или нечетной.

Если x ® ± ¥, то в сравнении с величиной первого слагаемого ax4 значениями остальных слагаемых функции (1) можно пренебречь. Следовательно, в этом случае y » ax, то есть если x ® ± ¥, то y ® + ¥ (для a > 0), и y ® – ¥ (для a < 0). Таким образом, ветви графика функции (41) будут направлены вверх при a > 0, и ветви графика будут направлены вниз при a < 0.

Число действительных корней многочлена четвертой степени не может быть более четырех, следовательно, максимальное число пересечений графика функции (1) с осью OX равняется четырем.

Рассмотрим примеры.

Пример 1.

График функции y = 2x4 + 3x3 – 13x2 – 6x + 8 показан на рисунке 1.а. Соответствующий многочлен четвертой степени имеет четыре действительных корня, которые были определены ранее в примере 4.

График четной функции y = 2x4 – 6x2 – 8 показан на рисунке 1.б. соответствующий многочлен четвертой степени имеет два действительных корня.

рис. 1.а. рис. 1.б.

Пример 2.

График функции y = – x4 + x3 – x2 – x + 2 показан на рис.2. Соответствующий многочлен четвертой степени имеет два действительных корня x = .

рис. 2.

Пример 13.

График функции y = x4 + 2x3 + 5x2 + 8x + 4 показан на рис.3. Соответствующий многочлен четвертой степени имеет два одинаковых действительных корня x1,2 = – 1.

рис. 3.

Пример 4.

График функции y = (x2 + x – 2)(x2 – 6x +9) показан на рис.4. соответствующий многочлен четвертой степени имеет четыре действительных корня, два из которых одинаковы.

рис.4.

Пример 5.

График функции y = (x2 + 1)(x2 + x + 5) показан на рис.5. Соответствующий многочлен четвертой степени не имеет действительных корней.

Рис.5.

Более детальное исследование функции (1) связано с определением точек максимума и минимума.

Приведём ещё один способ.

Нетрудно проверить, что общее уравнение четвертой степени

z4 + a1z3 + a2z2 + a3z + a4 = 0 с помощью подстановки z = x – приводится к виду

x4 + ax2 + bx + c = 0.