Программа элективного предмета по математике для учащихся 10 класса (стр. 6 )

III случай.

Пусть D > 0, тогда под знаком квадратного корня в формуле Кардано стоит отрицательной действительное число, а значит под знаками кубичных радикалов стоят сопряженные комплексные числа. Таким образом, все значения радикалов a и b будут теперь комплексными числами. Однако, среди корней уравнения (1) должен содержаться хотя бы один действительный. Пусть это будет корень

x1 = a0 + b0 .

Так как действительны и сумма чисел a0 и b0 и их произведение, равное, то числа a0 и b0 сопряжены между собой как корни квадратного уравнения с действительными коэффициентами, значит тогда сопряжены между собой и числа a0e и b0e2, а также числа a0e2 и b0e, откуда следует, что корни уравнения (1)
x2 = a0e + b0e2 , x3 = a0e2 + b0e.
также будут действительными числами.

Мы получили, что все три корня уравнения (1) действительны, причем среди них нет равных. В противном случае из равенства x2 = x3 следует

a0(e – e2) = b0(e – e2), значит a0 = b0 , что невозможно.

Таким образом, если D = 0, то уравнение (1) имеет три различных действительных различных корня.

Этот случай решения уравнения (1) называется неприводимым, так как в рассматриваемом случае корни уравнения (1) вообще никаким способом не могут быть выражены через коэффициенты при помощи радикалов с действительными покоренными выражениями.

Исследование уравнений третьей степени с помощью коэффициентов.

Дискриминант уравнения
x3 + px + q = 0

имеет вид

D = – 108, где

p = b – a2 ; q = + c.

Подставим значения p и q в уравнение дискриминанта
D = – 108· =

= – 27· – 4·=

= -27 + 4 = = – – 3a2b2 – 27c2 + – 4a3с – 18abc – 4b3 + 4b2a2 – ba4 + a6 =

= a2b 2– 27c2 – 4a3c + 18abc – 4b3.

D = a2b2 + 18abc – 4a3c –27c2 – 4b3.

Условие	Результат
a = b = c = 1 a = b = c = –1 a= 0 c— любое	D = 1 + 18 – 4 – 27 –4 = –16 < 0, D < 0. D = 1 – 18 – 4 – 27 + 4 = –44 < 0, D < 0. D = –27c2 – 4b3. b > 0; D = –27c2 – 4b3 < 0, D < 0 c— любое b < 0: D = 27c2 – 4b3 c— любое – 27c2 – 4b3 = 0, 4b3 = – 27c2, b = = – 3. b = – 3 Þ D = 0 – 4b3 – 27c2 > 0, b < – 3 Þ D < 0. D = a2b2 + 18abc – 4a3c – 27c2 – 4b3
b = 0	D = – 4a3c – 27c2 c = 0 Þ D = 0 a = 0 Þ D < 0 при любом c Ú D = – 4a3c – 27c2 < 0, D < 0 Ú D = – 4a3c – 27c2 – 4a3c – 27c2 = 0, c ¹ 0 Ú – 4a3c – 27c2 < 0, 27c = – 4a3, c = – a3 Þ D = 0. – 4a3c – 27c2 < 0. Ú Ú Þ D < 0 – 4a3c – 27c2 > 0. Ú Ú Þ D > 0
c = 0 a — любое	D = a2b2 – 4b3. b = 0 Þ D = 0. b < 0 : D = a2b2 – 4b3 > 0. D > 0. b > 0 : D = a2b2 – 4b3 . a2b2 – 4b3 = 0 b2 ¹ 0; a2b – 4b = 0. b ¹ 0; 4b = a2, b = , Þ D = 0 b ¹ 0; 4b = a2, b = , Þ D = 0. a2b2 – 4b3 > 0. Так как b < Þ D > 0. a2b2 – 4b3 < 0, b > ; Þ D< 0.
a = 0 b = 0	D = –27c2 < 0 c – любое, D < 0
a = 0 c = 0	D = – 4b3 b > 0, Þ D < 0. b < 0, Þ D > 0.
b = 0 c = 0	D = 0.
a = b = c	D = a4 + 18a3 – 4a4 – 27a2 – 4a3 = – 3a4 + 14a3 – 27a2. a < 0: D = –3a4 + 14a3 – 27a2 < 0, D < 0 a > 0: D = –3a4 + 14a3 – 27a2 < 0, D < 0 Так как D = –D, где D = 3a4 + 27a2 – 14a3 > 0. Так как a > 0, 3a2 – 14a + 27 > 0, d = 196 – 224 < 0, Þ график расположен выше оси Ox

Мы получим условия, при которых:

D = 0, то есть все корни уравнения действительны, причем два из них равны между собой.	D > 0, уравнение имеет три различных действительных корня.	D < 0,то есть уравнение имеет один действительный и два сопряженных комплексных корня.
	или получаем	или получаем

В случае, когда a ¹ b ¹ c ¹ 0 дискриминант D может принимать различные значения. Определить его знак, используя коэффициенты, в общем случае невозможно.

Вывод.

В случае, когда a ¹ b ¹ c ¹ 0, мы не можем сразу определить число действительных корней, используя коэффициенты. Но любое уравнение третьей степени для решения приводится к уравнению y3 + py + q = 0, т. е. в этом случае коэффициент при y2 = 0. Следовательно, можно воспользоваться методом определения числа действительных корней, используя коэффициенты. Значит этот метод представляет интерес для любых значений коэффициентов третьей степени.

Пример 1. Решить уравнение

x3 – 6x + 9 = 0.

a = 0, b , b , - 6 . D < 0 – уравнение имеет один действительный и два комплексных корня.

Решение

p = – 6, q = 9.

a = = = = .

a0 = – 1, a·b = – = 2, Þ b0 = , Þ b0 = –2.

x0 = a0 + b0 = –1 – 2 = – 3,

x1,2 = – (a0 + b0) ± i(a0 – b0) =+ ± .

Таким образом, получили x0 = –3 — действительный корень, x1,2 = ± — комплексно-сопряженные корни.

Ответ. x1 = –3; x2 = + ; x3 = – .

III.  Практическая часть.

Решите уравнения:

1.  x3 + 15x + 124 = 0,

2.  x3 - 6x + 4 = 0,

3.  x3 – 3x2 + 4 = 0,

4.  x3 +3x2 + 9 - 4 = 0,

5.  x3 – 8x2 + 16 = 0,

6.  x3 + 9x2 + 18x + 28 = 0,

7.  x3 + 3x2 – 9x + 5 = 0,

8.  x3 + 3x2 – 6x + 4 = 0.

IV.  Домашнее задание.

Решите уравнения

1. x3 + 6x2 - 9x = 0,

2. x3 + 6x2 + 30x + 25 = 0.

Занятие 22.

Тема. Проверочная работа.

Цели занятия.

1.  Проверить усвоение обучающимися решений уравнений третьей степени и систем уравнений третьей степени.

Ход занятия.

I. Организация группы.

II. Беседа по домашнему заданиию.

III. Проверочная работа.

I В.

1. Решите уравнения

а) x3 + x2 - 4x + 2 = 0,

б) x3 - 8x2 + 23x - 24 = 0,

в) 2x3 - x2 - 53x + 4 = 0.

2. Решите систему уравнений

а) б)

I I В.

1. Решите уравнения

а) x3 - x2 - x + 1 = 0,

б) 2x3 + 13x2 + 25x + 14 = 0,

в) 2x3 - x2 - 5x - 2 = 0.

2. Решите систему уравнений

а) б)

IV. Домашнее задание.

Поменять местами варианты.

Занятие 23.

Тема. Возвратные уравнения четвёртой степени.

Цели занятия.

1.  Обобщить ЗУН по теме «Возвратные уравнения».

2.  Развивать логическое мышление обучающихся.

Ход занятия.

I. Организация группы.

II. Объяснение.

Определение. Уравнение вида ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0 (где все коэффициенты отличны от нуля) называют возвратным (первые два коэффициента a и b как бы возвращаются в последних двух членах уравнения).

Возвратные уравнения решаются методом введения новой переменной. Если разделить обе части уравнения почленно на x2 (что вполне законно, поскольку значение x = 0 не является корнем уравнения), получим:

ax2 + bx + c + = 0,

a(x2 + + b(x + ) + c = 0. (1)

Пусть x + = y, тогда (x + )2 = y2, откуда находим, что x2 + = y2 – 2.

С помощью новой переменной y уравнение можно переписать в виде

a(y2 – 2) + by + c = 0.

Предположим, что это квадратное уравнение имеет корни y1 и y2. Тогда, возвращаясь к переменной x, остаётся лишь решить два уравнения:

x + = y1; x + = y2.